Çözüldü İntegralde Alan (2 Soru)

1419oguzhan · 30 Nisan 2016

1-) y=sinx ve y=cosx tarafından sınırlanan ve bu eğrilerin iki ardışık kesişimlerinin arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
2-) y=2 ve y=secx 'in (0,1) noktasından geçen bileşeni tarafından sınırlı bölgenin alanını bulunuz.

Teşekkürler.

Honore · 1 Mayıs 2016

1419oguzhan dedi: ↑

1-) y=sinx ve y=cosx tarafından sınırlanan ve bu eğrilerin iki ardışık kesişimlerinin arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
2-) y=2 ve y=secx 'in (0,1) noktasından geçen bileşeni tarafından sınırlı bölgenin alanını bulunuz.

Teşekkürler.
Genişletmek için tıkla...

1. Soru:
Kesim noktalarının koordinatları sin(x) = cos(x) ⇒ tan(x) = 1 = tan(π / 4) ⇒ x = π / 4 + k·π, (k ∈ Z)
x1 = π / 4, x2 = π / 4 + π = 5π / 4

Birinci Çözüm:
Alan = 2·[sin(x) fonksiyonunun x = π / 4 ve x = π arasındaki integrali - cos(x) fonksiyonunun x = π / 4 ve x = π / 2 arasındaki integrali]

$\text{Alan}=2\left[\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\sin{x}dx-\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}dx\right]=\\ \\$

$2\left[\left|-\cos{x}\right|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}-\left|\sin{x}\right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\right]=\\ \\$

$2\left[-\cos{\pi}+\cos{\frac{\pi}{4}}-\sin{\frac{\pi}{2}}+\sin{\frac{\pi}{4}}\right]=\\ \\$

$2\left(1+\frac{1}{\sqrt2}-1+\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{4}{\sqrt2}={\color{Blue} 2\sqrt2}$

İkinci Çözüm:
$\text{Alan}=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\left(\sin{x}-\cos{x}\right)dx=\left|-\cos{x}-\sin{x}\right|_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}=\\ \\ \\$

$-\cos{\frac{5\pi}{4}-\sin{\frac{5\pi}{4}}}+\cos{\frac{\pi}{4}+\sin{\frac{\pi}{4}}}=\\ \\ \\$

$2\left(\cos{\frac{\pi}{4}}+\sin{\frac{\pi}{4}}\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{4}{\sqrt2}={\color{Blue} 2\sqrt2}$

WolframAlpha Kontrolu:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/WA_trigonometrik.png
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Area between sin(x) and cos(x) from x=pi/4 to x=5pi/4

Grafik:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/trigonometrik-integral.png
---
2. Soru:
Bu sorudaki "bileşeni" kelimesinin ne demek olduğuna tam bir anlam veremedim ve y = 1 doğrusu kastediliyor varsayımıyla çözmeye çalıştım:

y = 2 ve y = sec(x) fonksiyonlarının A kesim noktası: 2 = sec(x) ⇒ x = arcsec(2) = arccos(1 / 2) = π / 3 olup A(π / 3, 2) dir.

$\text{Alan}=2\cdot\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\left(2-\sec{x}\right)dx\right]=\\ \\ \\$

$2\left|2x-\ln\left[\sec{x}+\tan{x}\right]\right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}=\\ \\ \\$

$2\left[\frac{2\pi}{3}-\ln\left(2+\sqrt3\right)-\left(0-\ln1\right)\right]=\\ \\ \\$

$\frac{4\pi}{3}-2\ln\left(2+\sqrt3\right)\approx1.55487\cdots$

WolframAlpha Kontrolu:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/WA_secant.png
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2(integrate (2-sec(x))dx from x=0 to x=pi/3)

Grafik:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/secant.png

Forum	Başlık	Tarih
Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları	İntegralde Trigonometrik Değişken Dönüşümleri - Hiperbolik Fonksiyonlar (2 Soru)	26 Ağustos 2020
Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral	İntegralde Alan ve Hacim (2 Soru)	10 Ocak 2015
Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral	İntegralde Cebirsel Değişken Dönüşümü ve Türev	31 Ağustos 2026
Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat)	Cebirsel İntegralde Gereksiz Trigonometrik Dönüşüm - Pisagor Teoremi	19 Ağustos 2026
Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat)	Cebirsel İntegralde Gereksiz Trigonometrik Dönüşüm	25 Temmuz 2026

Giriş Yap & Kayıt Ol

Çözüldü İntegralde Alan (2 Soru)

1419oguzhan Yeni Üye

Honore Yönetici Yönetici

Ekli Dosyalar:

WA_trigonometrik.png

trigonometrik-integral.png

WA_secant.png

secant.png

Sayfayı Paylaş

Giriş Yap & Kayıt Ol

Çözüldü İntegralde Alan (2 Soru)

1419oguzhan Yeni Üye

Honore Yönetici Yönetici

Ekli Dosyalar:

WA_trigonometrik.png

trigonometrik-integral.png

WA_secant.png

secant.png

Sayfayı Paylaş

Faydalı Aramalar