Çözüldü Diferansiyel denklemler (5 soru)

SORU - 1
5y(p^2) + (-5ycosx + sinx)p - sinx·cosx = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Denklem çarpanlarına ayrılacak şekilde düzenlenirse;
5y(p^2) - 5y(cosx)p + psinx - sinx·cosx = 0
5py(p - cosx) + sinx(p - cosx) = 0
(p - cosx)(5py + sinx) = 0
p - cosx = 0 ⇒ p = dy / dx = cosx ⇒ y = sinx + c1 ⇒ y = c1 + sinx....(I)
5py + sinx = 0 ⇒ p = dy / dx ⇒ 5(dy / dx)y = -sinx ⇒ 5ydy = -sinxdx ⇒ 5y^2 / 2 = cosx + c1
y^2 = (2cosx + 2c1) / 5
y^2 = (2 / 5)(c1 + cosx)
y = ∓ √(2 / 5)·√(c1 + cosx)
y = -√(2 / 5)·√(c1 + cosx)....(II)
y = √(2 / 5)·√(c1 + cosx)....(III)
(I), (II), (II) ifadeleri genel çözümlerdir.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=5y((dy/dx)^2) + (-5ycosx + sinx)(dy/dx) - sinx·cosx = 0
---
SORU - 2
-(1 / siny)dx + {x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1}dy = 0 denkleminin Tam Diferansiyel olduğunu gösterip genel çözümünü bulunuz.

(∂ / ∂y)(-1 / siny) = cosy / [ (siny)^2 ]....(I)
(∂ / ∂x){x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1} = cosy / [ (siny)^2 ]....(II)
(I) ve (II) kısmi türevleri birbirine eşit olduğundan denklem Tam Diferansiyeldir.
Genel çözüm u(x, y) = c şeklindedir.
∂u / ∂x = -1 / siny alınarak u(x, y) = -∫dx / siny + F(y) = -x / siny + F(y)....(III)
(III) eşitliğinin y değişkenine göre türevi alınıp x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1 ifadesine eşitlenirse;
(∂ / ∂y)[ -x / siny + F(y) ] + F(y) ] = x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1
x·cosy / [ (siny)^2 ] + F'(y) = x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1
F '(y) = -1
F(y) = -y + k....(IV)
(IV) eşitliği (III) bağıntısında yerine yazılırsa;
u(x, y) = -x / siny - y + k = c
x / siny + y = c1
x + y·siny = c1·siny
x = c1·siny - y·siny genel çözümü bulunur.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=-(1 / siny)dx + {x·cosy / [ (siny)^2 ] - 1}dy = 0
---
SORU - 3
(3x^2 - y^2)dx - 2xydy = 0 Homojen Diferansiyel Denklemin genel çözümünü bulunuz.

y = ux...(I) ⇒ dy = udx + xdu....(II)
(I) ve (II) eşitlikleri denklemde yerlerine yazılırlarsa;
[ 3x^2 - (u^2)(x^2) ]dx - 2u(x^2)(dx + xdu) = 0 olup düzenlenip sadeleştirilirse;
-(3 / x)dx = 2udu / (u^2 - 1)
-3lnx + lnc1 = ln(u^2 - 1)
c1 = (x^3)(u^2 - 1) ve burada (I) eşitliği kullanılırsa;
c1 = (x^3)(y^2 / x^2 - 1)
c1 = x(y^2) - x^3
c1 + x^3 = x(y^2)
y^2 = (c1 + x^3) / x
y = ∓ √(c1 + x^3) / √x

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3x^2 - y^2)dx - 2xydy = 0
---
SORU - 4
dy / dx - y = -(y^2)(x^2 + x + 1) Bernoulli Diferansiyel Denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Denklemin her terimi y^2 ile bölünür;
(1 / y^2)(dy / dx) - 1 / y = -(x^2 + x + 1)....(I)
u = y^(1 - 2) = 1 / y....(II)
du / dx = -(1 / y^2)(dy / dx)
(1 / y^2)(dy / dx) = -du / dx....(III)
(II) ve (III) eşitlikleri (I) denkleminde yerlerine yazılır;
-du / dx - u = -(x^2 + x + 1)
du / dx + u = x^2 + x + 1....(IV) olarak 1. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklem haline döner.

Çözüm için Sabitin Değişimi (variation of Parameters) Yöntemi de aşağıdaki gibi kullanılabilir;
du / dx + u = 0 ⇒ u = c·e^(-x)....(V) ⇒ du / dx = (dc / dx)·e^(-x) - c·e^(-x)....(VI) olup (VI) ve (V) ifadeleri (IV) denkleminde yerlerine konursa;
(dc / dx)·e^(-x) - c·e^(-x) + c·e^(-x) = x^2 + x + 1
dc / dx = (e^x)(x^2 + x + 1)
c = ∫(e^x)(x^2 + x + 1)dx olup bu integral iki kez kısmi integrasyon uygulanaarak çözülürse c = (e^x)(x^2) - (e^x)x + 2e^x + k....(VII)
(VII) eşitliği (V) ifadesinde yerine konursa;
u = [ (e^x)(x^2) - (e^x)x + 2e^x + k ]·e^(-x) = x^2 - x + 2 + k·e^(-x) ve bu da (II) eşitliğinde yerine yazılırsa;
x^2 - x + 2 + k·e^(-x) = 1 / y
y = 1 / [ x^2 - x + 2 + k·e^(-x) ]
y = 1 / [ x^2 - x + 2 + c1·e^(-x) ]
y = (e^x) / [ c1 + (e^x)(x^2 - x + 2) ] genel çözümü bulunur.

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=dy / dx - y = -(y^2)(x^2 + x + 1)
---
SORU - 5
y1 = 5, y2 = x^2 - 2, y^3 = x^2 + 4 fonksiyonlarının lineer bağımlı olup olmadıklarını belirleyiniz.

3 fonksiyon olduğu için 3 - 1 = 2 kez türevler alınıp Wronski (Wronskian) Determinantının sıfır olup olmadığına bakılır. Bu determinant sıfır ise fonksiyonlar lineer bağımlı, aksi halde bağımsızdırlar.
y1' = 0, y1'' = 0
y2' = 2x, y2'' = 2
y3' = 2x, y3'' = 2

Kod:

              |5    x^2-2     x^2+4|
              |                    |
Determinant = |0       2x        2x| = 5(2x·2 - 2·2x) = 0
              |                    |
              |0        2         2|   

y1, y2, y3 fonksiyonları lineer bağımlıdırlar.

Kaynak:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=wronski determinant
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Wronskian.aspx
---
Merak edenler için okulun adı: Necmettin Erbakan Üniversitesi Seydişehir Ahmet Cengiz Mühendislik Fakültesi (N.E.Ü.S.A.C.M. Fakültesi)
https://www.konya.edu.tr/seydisehirahmetcengizmuhendislik
---
Sorularının Yedeği: https://i.ibb.co/8XQ8bTQ/Diferansiyel-Denklemler-5-Soru.png
---

Rica ederim, iyi çalışmalar.