Çözüldü 1^∞ Belirsizliği (YKS'de Yok)-Matematik İşlemlerde Öncelik ve Akış Sırası-Parantez Kullanmanın Önemi

Rutgers University'den uzun yoldan çözülüp sonucu da hatalı yazılmış bir örneğin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/rutger16.png

Resimdeki çözümde yapılmış parantez hatasını göstererek nedenini açıklayınız ve limiti de daha kısa başka bir yoldan çözünüz.

Çözümdeki Parantez Hatası: Bulunan değer e^[ -2 / (5·π) ] olmalıydı çünkü ( ) parantezleri olmazsa yani -2 / 5·π durumunda eşit öncelikli bölme ve çarpma işlemlerinden soldan sağa akış sırasında önce olan bölmeden dolayı -2 / 5 işlemi yapılıp çıkan -0,4 sayısı daha sonra gelen çarpma operatöründen dolayı π ile çarpılır ve sonuç da e^(-0,4·π) veya 1 / e^(0,4) ≈ 0,67 çıkar, halbuki doğru netice
e^[ -2 / (5·π) ] ≈ 0,88'dir.

Değişken Dönüşümüyle Kısa Çözüm:
y = arctan(5x) ⇒ tan(y) = 5x ⇒ x = (1 / 5)·tan(y) olup x → ∞ ⇒ y → π / 2 dönüşümüyle limitin yeni hali;
lim (y → π / 2) (2y / π)^[ (1 / 5)·tan(y) ]....(I)
L = (2y / π)^[ (1 / 5)·tan(y) ] ⇒ ln[ lim (y → π / 2) L ] = (1 / 5)·lim (y → π / 2) { [ ln(2y) - ln(π) ] / cot(y) } = 0 / 0
L'Hospital Kuralı uygulanarak ln[ lim (y → π / 2) L ] = (1 / 5)·lim (y → π / 2) [ 2 / (2y) ]·{ -[ sin(y) ]^2 }
ln[ lim (y → π / 2) L ] = -(1 / 5)·[ 1^2 / (π / 2) = -2 / (5·π) ⇒ lim (y → π / 2) L = e^[ -2 / (5·π) ].

Sonucu Hatalı Çözümün Kaynağı:
https://sites.rutgers.edu/laurent-vera/wp-content/uploads/sites/808/2024/04/midterm3practicesol.pdf
(Son sayfa)

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/rutger17.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=lim (2arctan(5x)/pi)^x as x goes to infinity

Not: SymboLab yapamıyor veya para bekliyor.
https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/\lim_{x\to \infty}\left(\frac{2\arctan\left(5x\right)}{\pi}\right)^{x}?or=sugEdit