Çözüldü 1. Derece Lineer Diferansiyel Denklemin Tam Çözümüyle Euler Yakınsaması Arasındaki Fark

Dartmouth College'dan çözümlü bir problemin üniversite düzeyi sınav için zorlaştırılmış uyarlaması:

dy / dx = y + x / 2 denklemini sağlayan y = f(x) fonksiyonunun apsisi 1 olan noktasındaki ordinat değeri 1 ise x = 4 noktasındaki gerçek değeriyle, adım büyüklüğü 1 alındığındaki Euler yöntemine göre bulunacak yaklaşık değeri arasındaki farkı doğal logaritma tabanına bağlı ve çarpanlarına ayrılmış bir üstel sayı olarak gösteriniz.

x değişkenine bağlı u ve v fonksiyonlarına göre y = u·v....(I) dönüşümüyle dy / dx = u·dv / dx + v·du / dx
u·dv / dx + v·du / dx - u·v = x / 2
u(dv / dx - v) + v·du / dx = x / 2....(II)
dv / dx - v = 0 olmasını sağlayan v fonksiyonu v = C1·e^x....(III)
(III) eşitliğine göre (II) denkleminden C1·e^x·du / dx = x / 2 ⇒ u = -(x + 1) / (2·C1·e^x) + C2 / (2·C1)....(IV)
(III) ve (IV) eşitlikleri (I) dönüşümünde sağ taraftaki yerlerine konulup C2 / 2 = C gibi bir sabite eşitlenip sadeleştirilerek,
y(x) = -(x + 1) / 2 + C·e^x....(V)
y(1) = 1 başlangıç değerine göre (V) genel çözüm denkleminden 1 = -2 / 2 + C·e^1 ⇒ C = 2 / e....(VI)
(VI) katsayısına bağlı özel çözüm yine (V) denkleminden y(x) = -(x + 1) / 2 + 2·e^(x - 1)....(VII)
(VII) numaralı fonksiyonun x = 4 noktasındaki gerçek değeri y(4) = 2e^3 - 5 / 2....(VIII)

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input?i=y'=y+x/2,y(1)=1,y(4)=?


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/dartmo21.png
https://math.dartmouth.edu/undergra...nt-info/practice-exams/m3/m3f12exam2solns.pdf
(Sayfa 8, soru 13)

(VIII) değeriyle 27 / 2 arasındaki fark 2e^3 - 5 / 2 - 27 / 2 = 2e^3 - 16 = 2(e^3 - 2^3) = 2(e - 2)(e^2 + 2e + 4).

WolframAlpha'nın Euler Yöntemiyle Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/euler_10.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=use Euler method y' = y+x/2, y(1) = 1, from 1 to 4, h = 1
Not: 27 / 2 = 13,5 ve 2e^3 - 16 ≈ 24,171.