Çözüldü Bölünebilme ve Taban Aritmetiği (13 Soru)

2.7=14 ve (2,7)=1 olduğundan 2 ile bölümden kalanlara bakmak yeterlidir, çünkü illâ ki 7 ile bölümden kalanların da 2 den olanlara eşit olabileceği abc4 sayıları bulunacaktır.
(abc4)'ün 2 ile bölümünden kalan 0'dir. O zaman 2 atlayarak 14'e kadar gidebiliriz, bunlar istenen kalanlardır:
2-->0,2,4,6,8,10,12 kalanları olabileceğinden toplam 42 bulunur.

1. soru:
3a+5b=27 D-lineer bir denklem... Anlaşılsın diye isim değişikliği yapayım: 3x+5y=27 olsun. Bu bir doğru denklemi ve eğimi negatif, o zaman x ve y ters orantılı olarak değişecektir; 3 ve 5 katsayılarına bağlı olarak.
Herhangi bir başlangıç çözümü bulalım: (x,y)=(-1,6)

a=x=-1 ve b=y=6
a=-1+5=4 ve b=6-3=3
a=9 ve b=0 olduğuna göre --->4+9=13 bulunur.

2. soru:
4ab4 ---> 12=4.3 ve (4,3)=1 olduğundan 4 ve 3 ile bölümden kalan sıfırdır.
4a04, 4 ile bölünür. a+8=3k olacağından a=1,4,7
4a24, 4 ile bölünür. a+10=3k olacağından a=2,5,8
4a44, 4 ile bölünür. a+12=3k olacağından a=0,3,6,9
4a64, 4 ile bölünür. a+14=3k olacağından a=1,4,7
4a84, 4 ile bölünür. a+13=3k olacağından a=2,5,8 olduğundan, 10 değer alabilir.

3:
4a3b---> a+b-7=11k ---> a+b=11k+7 ---> k=0 ve k=1 için a+b={7,18}

4:
abc-ab=90a+9b+c=139 ve a=1 olmalı, çünkü başka türlü 139 çıkmaz. 9b+c=49'dan b=5 ve c=4 bulunur. a.b.c=1.5.4=20

5:
12=3.4 ve (3,4)=1 olduğundan 3 ve 4'e bölümden kalan 0'dır.
a=2 için 2328---> 2+3+2+8=15 --> 3'ün katı
a=4 için 4348---> 4+3+4+8=19---> 3'ün katı değil!
a=6 için 6368---> 6+3+6+8=23---> 3'ün katı değil!
a=8 için 8388---> 8+3+8+8=27---> 3'ün katı

olduğuna göre a={2,8}

6:
15=3.5 ve (3,5)=1 olduğundan 3 ve 5'e bölümden kalan 0'dır. Birler 0 ve 5 olmalı. Buna göre,
3a40 --->a+7=3k --->a=2,5,8
3a45 --->a+12=3k -->a=0,3,6,9 ---> a={0,2,3,5,8,9}

7:
36=4.9 ve (4,9)=1 olduğundan 4 ve 9'a bölümden kalanlar 0'dır. Son iki basamak için 4'e bölünenlere dikkat edilerek;
4a5172 ---> a+19=9k ---> k=3 için a=8
4a5176 ---> a+23=9k ---> k=3 için a=4 ---> a={4,8} bulunur.

8:
11 ile bölünebilme kuralı uygulanırsa, 6a24b ---> b+2+6-4-a=11k ---> b-a=11k-4 ---> a-b=4-11k ---> k=0 için a-b=4 bulunur.

9:
36=4.9 ve (4,9)=1 olduğundan 4 ve 9'a bölümden kalanlarda 3 olmalıdır. Buna göre, 4 için son iki basamağın n'olacağı dikkate alınarak son iki basamaklar bulunur:

15:4=kalan 3 olduğundan; 5a815 --> a+19=9k+3 ---> k=2 için a=2 ---> a+b=2+1=3
35:4=kalan 3 olduğundan; 5a835 --> a+21=9k+3 ---> k=2 ve 3 için a=0 ve 9 ---> a+b={3,12}
55:4=kalan 3 olduğundan; 5a855 --> a+23=9k+3 ---> k=3 için a=7 ---> a+b=7+5=12
75:4=kalan 3 olduğundan; 5a875 --> a+25=9k+3 ---> k=3 ve 4 için a=5 ve 8 ---> a+b={12,15}
95:4=kalan 3 olduğundan; 5a895 --> a+27=9k+3 ---> k=3 ve 4 için a=3 ve 6 ---> a+b={12,15} ---> Maksimum(a+b)=15 bulunur.

10:
(223)_3=3.3^0+2.3^1+2.3^2=3+6+18=27=(27)_10 ---> 222-27=195