Çözüldü Çemberde ve Üçgende Açı - Trigonometri

Konusu 'Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı' forumundadır ve Honore tarafından 28 Ocak 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.550
    Beğenileri:
    561
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/vD9xG2h/cember-ucgen.png
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=31ae95f04eea83bc0ce93a56fa9fba15&oe=5CBFB5FC
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=135853207447721&set=gm.1461449903992548&type=3&theater

    Dik üçgenin yarım çemberi kestiği en üstteki nokta: A
    [AP[ ışınının büyük çemberin çapını kestiği nokta: K
    Küçük çemberin merkezi: M
    Çemberde teğet yarıçapa dik olduğundan [MP| ⊥ [AK] ve [MQ| ⊥ [KQ] diklikleri nedeniyle ∆KPM ve ∆KQM birer dik üçgendir.
    |OK| = |OQ| = a....(0)
    |KP| = |KQ| = 2a nedeniyle ∆KPQ ikizkenar üçgen....(I)
    |MP| = |MQ| nedeniyle ∆MPQ ikizkenar üçgen....(II)
    (I) ve (II) şartlarıyla PKQM dörtgeni bir deltoid olur....(III)
    (III) sebebiyle de PKM = MKQ = 45 - x / 2 yani PKQ için [KM] açıortay.
    KPQ = KQP = 45 + x / 2
    PMK = KMQ = 45 + x / 2
    ∆KQM dik üçgeninde tan(45 - x / 2) = |MQ| / 2a ⇒ |MQ| = 2a·{ [ cos(x / 2) - sin(x / 2) ] / [ cos(x / 2) + sin(x / 2) ] }....(IV)
    ∆AOK dik üçgeninde tan(x) = a / |AO| ⇒ |AO| = a·cot(x)....(V)
    Bu durumdaki çemberlerde ayrı bir ispatı olan bağıntıyla |MQ| = (|AO| + |OQ|)·(|AO| - |OQ|) / [ (|AO| + |OQ|) + (|AO| - |OQ|) ] yazılıp düzenlenirse;
    |MQ| = (|AO|^2 - |OQ|^2) / [ 2·|AO| ]....(VI)
    (IV), (V), (0) eşitlikleri (VI) ifadesindeki yerlerine yazılırlarsa;
    2a·{ [ cos(x / 2) - sin(x / 2) ] / [ cos(x / 2) + sin(x / 2) ] } = { [ a·cot(x) ]^2 - a^2 } / [ 2a·cot(x) ] ve a çarpanları sadeleştirilerek;
    2·{ [ cos(x / 2) - sin(x / 2) ] / [ cos(x / 2) + sin(x / 2) ] } = { [ cot(x) ]^2 - 1 } / [ 2·cot(x) ]....(VII)
    (VII) orantısında sol tarafın pay ve paydası, paydanın eşleniği olan [ cos(x / 2) - sin(x / 2) ] ile çarpılırsa;
    2·[ 1 - sin(x) ] / cos(x) = { [ cot(x) ]^2 - 1 } / [ 2·cot(x) ] ve sağ taraf sinüs ve kosinüs fonksiyonlarına göre düzenlenerek sadeleştirilirse;
    2·[ 1 - sin(x) ] = [ cos(x) - sin(x) ][ cos(x) + sin(x) ] / [ 2·sin(x) ]
    [ 4·sin(x) ]·[ 1 - sin(x) ] = cos(2x)
    4·sin(x) - 4·{ [ sin(x) ]^2 } = 1 - 2·{ [ sin(x) ]^2 } ve sin(x) fonksiyonunun ikinci derece bir denklemi halinde yazılıarak;
    2·{ [ sin(x) ]^2 } - 4·sin(x) + 1 = 0 olup çözülürse;
    sin(x) = [ 2 ∓ √(4 - 2) ] / 2
    sin(x) = (2 ∓ √2) / 2
    x > 0 ⇒ 0 < sin(x) ≤ 1 olduğundan sin(x) = (2 - √2) / 2 bulunur.

  2. Benzer Konular: Çemberde Üçgende
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Çemberde Teğet ve Yarıçap - Deltoid - Eşkenar Üçgende Uzunluk - Trigonometri 6 Ekim 2019
    Geometrik Kavramlar,Açılar,Üçgende Uzunluk-Açı-Alan-Eşlik ve Benzerlik Üçgende ve Çemberde Açı - Trigonometri 30 Nisan 2019
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Çemberde Kuvvet ve İkizkenar Üçgende Uzunluk 13 Ekim 2018
    Matematik - Geometri Çemberde Uzunluk - Üçgende Benzerlik - Sinüs Teoremi 30 Eylül 2018
    Matematik - Geometri Üçgende ve Çemberde Uzunluk - Thales Teoremi 27 Ocak 2018

Sayfayı Paylaş