Çözüldü Çift Değişkenli Tek Denklemin Çarpanlara Ayırma İle Çözümü

Denklemin gerçel köklerini de kısmi türevle oluşan iki bilinmeyenli birinci derece denklem sisteminden (ilgilenen öğrencilere ödev) bulabiliriz:
f(x, y) = 15x^2 - 15y^2 + 16xy - x + 21y - 6
∂f / ∂x = 30x + 16y - 1 = 0....(I)
∂f / ∂y = 16x - 30y + 21 = 0....(II)
(I) ve (II) denklemlerinden x = -9 / 34 ve y = 19 / 34
https://www.wolframalpha.com/input?i=16x-30y+21=0, 30x+16y-1=0

Çarpanlara Ayırma işlemi için Genel Konik Denklemi de kullanılabilir:
A·x^2 + B·x·y + C·y^2 + D·x + E·y + F = 0 denkleminde Diskriminant Δ = B^2 - 4·A·C olup;

1) Δ = B^2 - 4·A·C < 0 ise elips, çember, nokta veya boş küme belirtir.
a. A = C ∧ B = 0 ise çember, nokta veya boş küme
b. A ≠ C ∧ B ≠ 0 ise elips, nokta veya boş küme

2) Δ = B^2 - 4·A·C = 0 ise parabol, paralel iki doğru veya çakışık iki doğru belirtir.
a. Çarpanlara ayrılabiliyorsa paralel veya çakışık iki doğru
b. Çarpanlara ayrılamıyorsa parabol

3) Δ = B^2 - 4·A·C > 0 ise hiperbol veya kesişen iki doğru belirtir.
a. Birinci dereceden iki asal çarpana ayrılamıyorsa hiperbol
b. Birinci dereceden iki asal çarpana ayrılabiliyorsa kesişen iki doğru

Kaynak: "Analitik Geometri 1 - 2", Zafer Yayınları, Ekim 2002, Sayfa 329 - 330

Sayın Cem Hocamızın sorusundaki fonksiyonda B = 16, A = 15, C = -15 ve sabit terim negatif (-6) olduğundan Δ > 0 ve kökleri istenildiğinden kesişen iki doğru olması gerektiği ve üstelik de birbirine dik iki doğru olabileceği varsayımıyla;
f(x, y) = (a·x + b·y + c)(b·x - a·y - d) şeklinde yazılıp parantezler açılıp düzenlenirse;
f(x, y) = a·b·x^2 - a·b·y^2 + (b^2 - a^2)·x·y + (b·c - a·d)·x - (b·d + a·c)·y - c·d
f(x, y) = 15x^2 - 15y^2 + 16xy - x + 21y - 6 ile "Belirsiz Katsayılar Kuralı"na göre karşılaştırıldığında,
a·b = 15 ⇒ a = b = {∓1, ∓3, ∓5, ∓15}....(III)
b^2 - a^2 = 16....(IV)
(III) ve (IV) eşitliklerinden önce pozitif değerlerle a = 3 ve b = 5 alınıp 5c - 3d = -1 ve -5c - 3c = 21 olarak yazılan denklemlerden
c = -2 ve d = -3 bulunarak fonksiyonun f(x, y) = (3x + 5y - 2)(5x - 3y + 3) şeklinde birbirine dik iki doğru gösterdiği kesinleşir.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/konik_10.png