Çözüldü Determinantlar (YKS'de Yok) - Cebirsel Özdeşlikler

Boston University'den bir soru:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/bu10.png

A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2

Çözüm - 1:
"Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k ∈ R katı alınarak başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez."
"Lise Matematik 3", MEB Ders Kitabı, 2001, Sayfa 297

İkinci ve üçüncü satırların 1 katı birinci satıra eklenirse ilk satırın üç terimi de x + y + z olup Laplace açılımıyla veya Sarrus Kuralı uygulanarak açılınca tüm terimlerde (x + y + z) çarpan olarak bulunur ki problemde verilen eşitliğin doğru olması ancak x + y + z = 0 için sağlanır.

Çözüm - 2:
Determinant ilgilenen öğrencilere ödev olarak açılınca x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 ve eşitliğin solundaki ifade tekrar çarpanlara ayrıldığında (x + y + z)·[ (x^2 + y^2 + z^2) - (x·y + y·z + z·x) ] = 0 durumunda çarpımın sıfırlanabilmesi yalnız x + y + z = 0 olmasıyla mümkündür.

Sorunun Aslı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/bu_que10.png
https://math.bu.edu/people/if/LinearAlgebraPDF/LAchapter1.pdf
(Sayfa 1, Soru 1.2.9)