Soru Diferansiyel Denklem (3 soru) (İkisi çözüldü, biri tartışmalı)

Bir özel çözümü y = e^x olan y' + (2e^x - 1 / x)y - y^2 - e^(2x) + (e^x) / x - e^x = 0 Riccati diferansiyel denkleminin çözümü:

Bu sorunun yazılışında bir hata var çünkü;
y = y1 + 1 / u = e^x + 1 / u ⇒ y' = e^x - u' / u^2 değişken dönüşümüyle denklem;
e^x - u' / u^2 + 2e^(2x) - (e^x) / x - e^(2x) - 2(e^x) / u - 1 / u^2 - e^(2x) + (e^x) / x - e^x = 0
-u' / u^2 - 2(e^x) / u - 1 / u^2 = 0
u' + 2(e^x)·u = - 1 şeklinde Birinci Derece Değişken Katsayılı Lineer Diferansiyel denkleme dönerek x değişkenine bağlı birer fonksiyon
k ve v olmak üzere u = k·v ⇒ du / dx = k·(dv / dx) + v·(dk / dx) değişken dönüşümüyle;
k·(dv / dx) + v·(dk / dx) + 2(e^x)·k·v = -1
k·[ dv / dx + 2(e^x)·v ] + v·(dk / dx) = -1....(I) denkleminde dv / dx + 2(e^x)·v = 0....(II) olmasını sağlayan v(x) fonksiyonu,
v = C1·e^[ -2(e^x) ]....(III) olup;
(II) şartı ve (III) fonksiyonuyla (I) denklemi;
k·0 + C1·e^[ -2(e^x) ]·(dk / dx) = -1
dk = (-1 / C1)·e^[ 2(e^x) ]dx integralinin çözümü ancak "Ei" yani "Exponential Integral" fonksiyonuyla mümkün.
k = (-1 / C1)·Ei(2e^x) + C2....(IV)
(III) ve (IV) eşitlikleri u = k·v eşitliğindeki yerlerine konularak u(x) = [ e^(-2e^x) ]·[ C - Ei(2e^x) ]
y = e^x + 1 / { [ e^(-2e^x) ]·[ C - Ei(2e^x) ] }

y = e^x + [ e^(-2e^x) ] / [ C - Ei(2e^x) ]

u' + 2(e^x)·u = - 1 denkleminin çözümüne ait sonucun WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=u' + 2(e^x)·u + 1

Notlar:
1. "Ei" fonksiyonu bildiğim kadarıyla lisans eğitimi kapsamında yok.
2. Diğer sorulara bakıyorum.

Çözüm ortada. Başka forumlara veya Facebook gruplarına sorun.

y''' - y' = (e^x) / (e^x + 1) denkleminin Lagrange Sabitin Değişimi yöntemiyle çözümü:

d / dx = r olmak üzere r(r - 1)(r + 1) = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = 1, r3 = -1
Homojen Çözüm: yh(x) = C1·[ e^(0·x) ] + C2·[ e^(1·x) ] + C3·[ e^(-1·x) ] = C1 + C2·(e^x) + C3·[ e^(-x) ]....(I)
(I) eşitliğinden birinci, ikinci, üçüncü türevler alınarak bütünler şartlar yazılırsa;
y' = 0 + C2·(e^x) - C3·[ e^(-x) ] + C1' + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(-x) ]
C1' + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(-x) ] = 0....(II)
y' = C2·(e^x) - C3·[ e^(-x) ]....(III)
y'' = C2·(e^x) + C3·[ e^(-x) ] + C2'·(e^x) - C3'·[ e^(-x) ]
C2'·(e^x) - C3'·[ e^(-x) ] = 0....(IV)
y'' = C2·(e^x) + C3·[ e^(-x) ]....(V)
y''' = C2·(e^x) - C3·[ e^(-x) ] + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(-x) ]....(VI)
(VI) ve (III) eşitlikleri denklemdeki yerlerine konulup;
C2·(e^x) - C3·[ e^(-x) ] + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(-x) ] - C2·(e^x) + C3·[ e^(-x) ] = (e^x) / (e^x + 1)
C2'·(e^x) + C3'·[ e^(-x) ] = (e^x) / (e^x + 1)...(VII)
(II), (IV), (VII) eşitliklerinden oluşan denklem sistemi;
C1' + C2'·(e^x) + C3'·[ e^(-x) ] = 0....(II)
C2' - C3'·[ e^(-2x) ] = 0....(VIII)
C2' + C3'·[ e^(-2x) ] = 1 / (e^x + 1)....(IX) olup çözülürse;
C2' = 1 / [ 2(e^x + 1) ] ⇒ C2 = (1 / 2)·[ x - ln(e^x + 1) ] + K2
C3' = [ e^(2x) ] / [ 2(e^x + 1) ] ⇒ C3 = (1 / 2)·[ e^x - ln(e^x + 1) ] + C3
C1' = -(e^x) / (e^x + 1) ⇒ C1 = -ln(e^x + 1) + K1
C1(x), C2(x), C3(x) fonksiyonları (I) denklemindeki yerlerine yazılıp çözüm tamamlanır.
Ara işlemler ve doğruluk kontrolu ilgilenen öğrencilere ödev.