Soru Diferansiyel Denklem (3 soru) (İkisi çözüldü, biri tartışmalı)

y'' - 2y' + y = x·[ e^(2x) ] + e^x ikinci derece, sabit katsayılı ve sağ taraflı lineer denklemin çözümü:

r = 1 çift katlı kök
yh(x) = (C1 + C2·x)·(e^x)....(I)

Birinci Özel Çözüm: y1ö(x) = [ e^(2x) ]·(ax + b) = a·x·e^(2x) + b·e^(2x)
y' = 2a·x·e^(2x) + 2b·e^(2x) + a·e^(2x)
y'' = 4a·e^(2x) + 4a·x·e^(2x) + 4b·e^(2x)
4a·e^(2x) + 4a·x·e^(2x) + 4b·e^(2x) - 4a·x·e^(2x) - 4b·e^(2x) - 2a·e^(2x) + a·x·e^(2x) + b·e^(2x) = x·[ e^(2x) ]
4a + 4a·x + 4b - 4a·x - 4b - 2a + a·x + b = x
a·x + (2a + b) = x
a = 1
b = -2a = -2
y1ö(x) = [ e^(2x) ]·(x - 2)....(II)

İkinci Özel Çözüm r = 1 çift katlı kökünden dolayı y2ö(x) = A·(x^2)·(e^x) fonksiyonundan türevler alınıp;
y' = 2A·x·(e^x) + A·(x^2)·(e^x)
y'' = A·(x^2)·(e^x) + 4A·x·(e^x) + 2A·(e^x)
Türev fonksiyonları ve özel çözüm denklemde yazılarak;
A·(x^2)·(e^x) + 4A·x·(e^x) + 2A·(e^x) - 4A·x·(e^x) - 2A·(x^2)·(e^x) + A·(x^2)·(e^x) = e^x eşitliği sadeleştirilirse
2A = 1 ⇒ A = 1 / 2 ⇒ y2ö(x) = (x^2)·(e^x) / 2

Tam Çözüm: y(x) = (C1 + C2·x)·(e^x) + [ e^(2x) ]·(x - 2) + (x^2)·(e^x) / 2

Sonucun doğru olduğunu görmek ilgilenen öğrencilere ödev.