Çözüldü Diferansiyel Denklem (5 soru, 1 tanesinin çözümü şüpheli))

Soru - 1.a)
(x + 1)y ' = y - 1
dy / dx = (y - 1) / (x + 1)
dy / (y - 1) = dx / (x + 1)
ln(y - 1) = ln(x + 1) + lnc
ln(y - 1) = ln[ c·(x + 1) ]
y - 1 = c·(x + 1)
y = cx + c + 1
y = c1·x + c2

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x + 1)y' = y - 1
---
Soru - 1.b)
Büyük olasılıkla soru hatalı yazılmış çünkü en azından benim bildiğim hiçbir tipe uymuyor ve zaten WolframAlpha da bir çözüm gösteremiyor.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-3)y''-(sin(x))y'+(sqrt(1-x^2))y=e^x
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x-3)y''-(sin(x))y'+(sqrt(1-x^2))y=e^x, y(2)=1, y'(2)=5

Zamanı olan sayın hocalarımızdan belki bir açıklama gelebilir ama başka forumlara veya ilgili Facebook gruplarına sormanız iyi olur.
---
Soru - 2
Tam diferansiyel yapılabilen tip denklem.
Genel olarak M = f(x, y) ve N = g(x, y) iki değişkenli fonksiyonlar olup Mdx + Ndy = 0 yapısına göre M = 1 ve N = x / y + e^(y^2)
∂M / ∂y = 0
∂N / ∂x = 1 / y
(∂N / ∂x - ∂M / ∂y ) / M = (1 / y - 0) / 1 = 1 / y
Denklemi tam diferansiyel yapmak üzere her terimle çarpılması gereken µ integrasyon çarpanı bulunmak üzere;
∂ln(µ) / ∂y = 1 / y
∂ln(µ) = ∂y / y
ln(µ) = ln(y)
µ = y ile denklemin her terimi çarpılırsa ydx + { x + y·[ e^(y^2) ] }dy = 0 şeklinde tam diferansiyel hale gelir.
Denklemin bu haline göre M = y, N = y[ e^(y^2) ] olup ∂M / ∂y = ∂N / ∂x olduğunun görülmesi ilgilenen öğrencilere ödev.
O halde çözüm a, b ∈ R alınarak;
u(x, y) = (alt sınır x1 = a, üst sınır x2 = x), ∫ M(x, y) dx + (alt sınır y1 = b, üst sınır x2 = y), ∫ N(a, y) dy = c şeklindedir ve integraller alınıp sınır değerleri de kullanılarak;
(alt sınır x1 = a, üst sınır x2 = x),|y| + (alt sınır y1 = b, üst sınır x2 = y), |a·y + (1 / 2)·[ e^(y^2) ] = c
y(x - a) + a·y + (1 / 2)·e^(y^2) - a·b - (1 / 2)·[ e^(b^2) ] = c eşitliğinde tüm sabit değerler c1 içinde toplanarak;
y·x + (1 / 2)·[ e^(y^2) ] = c1
x = (c1 / y) - 1 / (2y)·[ e^(y^2) ]

WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=dx+(x/y+e^(y^2))dy=0
---
Soru - 3
Birinci mertebeden lineer diferansiyel hale getirilebilen denklem.
y ' + (2 / t)y = (sint) / t şeklinde yazılıp y = u·v....(I) değişken dönüşümüyle y ' = dy / dt = u(dv / dt) + v(du / dt) ile denklem,
u(dv / dt + 2v / t) + v(du / dt) = (sint) / t....(II) olup dv / dt + 2v / t = 0....(III) olacak şekilde bir v = f(t) fonksiyonu seçilebilir.
O halde dv / dt + 2v / t = 0 değişkenlerine ayrılabilir tipten ⇒ v = 1 / t^2....(IV) sonucunu bulmak ilgilenen öğrencilere ödev.
(III) ve (IV) şartlarıyla (II) denklemi v(du / dt) = (sint) / t haline gelir ki burada (IV) kullanılırsa;
du = t·sint dt ⇒ u = ∫ t·sint dt + c1 eşitliğindeki integral işlemi kısmi integrasyonla yapılarak (burası da aynen ilgilenen öğrencilere ödev);
u = sint - t·cost + c1....(V)
(IV) ve (V), (I)'e götürülerek y(t) = (sint - t·cost + c1)(1 / t^2) ve y(π / 2) = (2 / π)^2 başlangıç değerlerine göre;
y(π / 2) = (2 / π)^2 = [ sin(π / 2) - (π / 2)cos(π / 2) + c1 ]·[ 1 / (π / 2)^2 ]
(2 / π)^2 = [ 1 - (π / 2)·0 + c1 ]·[ 1 / (π / 2)^2 ]
1 = 1 - (π / 2)·0 + c1
c1 = 0 ve böylece özel çözüm y(t) = (sint - t·cost + 0)(1 / t^2)
y(t) = (1 / t^2)·sint - (1 / t)·cost

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=t*y' + 2y = sin(t), y(pi/2)=4/pi^2
---
Soru - 4
y ' - y / x = (2 / √x)·[ y^(1 / 2) ] şeklinde yazılırsa Bernoulli diferansiyel denklemi olduğu görülür.
Her terim y^(1 / 2) ile bölünürse;
[ y^(-1 / 2) ]·y ' - [ y^(1 / 2) ] / x = 2 / √x....(VI) denkleminde u = y^(1 - 1 / 2) = y^(1 / 2) değişken dönüşümüyle;
du / dx = (1 / 2)·[ y^(-1 / 2) ]·y '
2du / dx = [ y^(-1 / 2) ]·y ' olup bu değer (VI)'ya götürülürse;
2du / dx - u / x = 2 / √x....(VII) şeklinde birinci mertebeden lineer diferansiyel denklem haline gelerek u = k·v....(VIII) değişken dönüşümüyle;
du / dx = k(dv / dx) + v(dk / dx) eşitliği ile (VII) denklemi;
2k(dv / dx) + 2v(dk / dx) - k·v / x = 2 / √x
k[ 2(dv / dx) - v / x ] + 2v(dk / dx) = 2 / √x....(IX) olur ve burada yine 2(dv / dx) - v / x = 0....(X) olabilecek şekilde bir v = f(x) fonksiyonu bulunabilir.
2(dv / dx) - v / x = 0 ⇒ v = √x....(XI) bulunması ilgilenen öğrencilere ödev.
(X) ve (XI) eşitlikleriyle (IX) denklemi 2(√x)(dk / dx) = 2 / √x ⇒ k = ln(x) + c1....(XII)
(XI) ve (XII) eşitlikleri (VIII)'e götürülerek; u = [ ln(x) + c1 ]·√x....(XIII)
u = √y olduğundan
y = { [ ln(x) + c1 ]·√x }^2
y = x·{ [ ln(x) + c1 ]^2 }
y = x·[ (c1)^2 ] + 2(c1)·x·ln(x) + x·{ [ ln(x) ]^2 }

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y ' - y / x = (2 / √x)·[ y^(1 / 2) ]
---
Soru - 5
k, c, c1 ∈ N
zaman değişkeni: t (yıl)
Zamanın fonksiyonu olarak nüfus (population): P(t)
dP / dt = k·P
dP / P = k dt
ln(P) = k·t + c
P(t) = e^(k·t + c)
P(t) = e^(k·t) + e^c ve c1 = e^c olmak üzere;
P(t) = e^(k·t) + c1

Rica ederim, o yapamadığım soru üzerinde çalışıyorum, bir ilerleme olursa hemen yazarım.

Aslında soru hatalı değil çünkü çözüm değil sadece çözümün olabileceği aralık soruluyor.
x - 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3....(I)
1 - x^2 ≥ 0 ⇒ x^2 ≤ 1 ⇒ -1 ≤ x ≤ 1...(II)
(II) eşitsizliği (I) şartını da sağladığı için tek çözüme sahip aralık -1 ≤ x ≤ 1 olmalı diye düşünüyorum.
Benzer başka soru: http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/IoV.aspx
(Örnek 1)
---
Soruların yedeği: https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/111.png