Soru Diferansiyel Denklemler (2 Soru, Biri Çözüldü)

y''' + 2y'' + 4y' + 5y = 2·[ e^(2x) ]·sin(2x) diferansiyel denkleminin çözümü:

Türev operatörü d / dx = r olmak üzere karakteristik denklem: r^3 + 2r^2 + 4r + 5 = 0 olup kökleri temel cebirsel yöntemlerle bulunamaz ve ancak bir sayısal çözümleme yöntemiyle veya WolframAlpha ya da Symbolab gibi böylesi nümerik hesapları yapabilen bir sitede çözülebilir. Soruyu bu şekilde verip de çözüm isteyen hoca kimse ona aynen bunların söylenmesi, ya katsayılarda veya işaretlerde bir hata yapmış olabileceğinin belirtilmesi gerekir.

Çünkü; r1 ≈ -1,526, r2 ≈ -0,237 - i·1,7946, r3 ≈ -0,237 + i·1,7946 köklerine göre homojen çözüm;
yh(x) ≈ C1·e^(-1,526·x) + [ e^(-0,237·x) ]·[ C2·cos(1,7946·x) + C3·sin(1,7946·x) ]

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''' + 2y'' + 4y' + 5y = 0

Özel Çözüm için sadece çözüm yolunu yazayım, isteyen ve zamanı olan varsa oturup uğraşsın çünkü kendi ödevim veya sınavım bile olsaydı yine uğraşmazdım. WolframAlpha bile sonucu veremiyor (veya sadece paralı üyelerine gösteriyor):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''' + 2y'' + 4y' + 5y = 2·[ e^(2x) ]·sin(2x)

yö(x) = [ e^(-0,237·x) ]·[ A·cos(1,7946·x) + B·sin(1,7946·x) ] fonksiyonundan birinci, ikinci, üçüncü türevler alınıp denklemdeki yerlerine yazılacak, daha sonra sadeleştirmeler yapılıp A ve B katsayılarına göre ve Belirsiz Katsayılar Kuralı gereğince oluşan iki bilinmeyenli denklem çözülüp A ve B katsayıları bulunacak ve yö(x) özel çözümü belirlenecek.

Tam genel çözüm de yh(x) ve yö(x) toplanarak oluşturulacak.
---
y'' + 4y' + 4y = [ e^(-2x) ] / (1 + x^2) diferansiyel denklemi Lagrange Sabitin Değişimi yöntemi ile çözülebilir:

r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2 = 0 ⇒ r = -2 çift katlı kök olduğundan homojen çözüm yh(x) = (C1 + C2·x)·e^(-2x)....(I)
Türevler alınıp;
y' = -2(C1 + C2·x)·e^(-2x) + C2·e^(-2x) + (C1' + C2'·x)·e^(-2x) eşitliğinden (C1' + C2'·x)·e^(-2x) = 0 ⇒ C1' + C2'·x = 0....(II)
y' = -2(C1 + C2·x)·e^(-2x) + C2·e^(-2x) + 0
y' = -2(C1 + C2·x)·e^(-2x) + C2·e^(-2x)....(III)
y'' = 4(C1 + C2·x)·e^(-2x) - 2C2·e^(-2x) - 2C2·e^(-2x) - 2(C1' + C2'·x)·e^(-2x) + C2'·e^(-2x)
y'' = (4C1 + 4C2·x - 4C2)·e^(-2x) + (-2C1' - 2C2'·x - C2')·e^(-2x)....(IV)
(IV), (III), (I) eşitlikleri denklemdeki yerlerine konularak;
(4C1 + 4C2·x - 4C2)·e^(-2x) + (-2C1' - 2C2'·x - C2')·e^(-2x) - 8(C1 + C2·x)·e^(-2x) + 4C2·e^(-2x) + 4(C1 + C2·x)·e^(-2x) =
[ e^(-2x) ] / (1 + x^2)
4C1 + 4C2·x - 4C2 - 2C1' - 2C2'·x - C2' - 8(C1 + C2·x) + 4C2 + 4C1 + 4C2·x = 1 / (1 + x^2)
- 2C1' - (2x + 1)·C2' = 1 / (1 + x^2)....(V)
(II) ve (V) denklemlerinden oluşan C1' ve C2' bilinmeyenlerinden oluşan iki bilinmeyenli denklem sistemi;
C1' + x·C2' = 0....(VI)
-2C1' - (2x + 1)·C2' = 1 / (1 + x^2)....(VII)
(VI) denklemi 2 ile çarpılıp (VII) ile toplanırsa C2' = -1 / (1 + x^2)....(VIII) ⇒ C2 = -arctan(x) + K2....(IX)
(VIII) eşitliği (VI) denklemindeki yerine yazılıp; C1' = x / (1 + x^2) ⇒ C1 = (1 / 2)·ln(1 + x^2) + K1....(X)
x değişkenine bağlı (X) ve (IX) katsayıları (I) denklemine taşınıp tam genel çözüm;

y(x) = { [ (1 / 2)·ln(1 + x^2) + K1 ] + [ -arctan(x) + K2 ]·x }·e^(-2x)....(XI)

WolframAlpha Kontrolu:
(XI) denkleminin aynı ama K1 ve K2 yerine C1 ve C2 olan biraz değişik yazılışı:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/difden18.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' + 4y' + 4y = [ e^(-2x) ] / (1 + x^2)