Soru Diferansiyel Denklemler (3 Soru, Biri Çözüldü, Diğer İkisinin Çözüm Yolu Belirlendi.)

Birinci Denklem
r^3 + r^2 = 0 ⇒ r1 = r2 = 0, r3 = -1
Homojen Çözüm: yh(x) = C1·e^(0·x) + C2·x·e^(0·x) + C3·e^(-x) = C1 + C2·x + C3·e^(-x)....(I)
Birinci Özel Çözüm: yö1(x) = (x^2)(a·x^2 + b·x + c) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 denkleminden türevler alınıp;
y' = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx
y'' = 12ax^2 + 6bx + 2c
y''' = 24ax + 6b
İkinci ve üçüncü türev fonksiyonları denklemdeki yerlerine yazılıp;
24ax + 6b + 12ax^2 + 6bx + 2c = 4x^2 eşitliğinde Belirsiz Katsayılar Kuralı ile;
12a = 4 ⇒ a = 1 / 3
24a + 6b = 0 ⇒ b = -4 / 3
6b + 2c = 0 ⇒ c = 4
yö1(x) = x^4 / 3 - 4x^3 / 3 + 4x^2....(II)
İkinci Özel Çözüm: yö2(x) = A·e^x denklemindeki bütün türevler aynı olduğundan;
A·e^x + A·e^x = 3e^x ⇒ A = 3 / 2
yö2(x) = (3 / 2)·e^x....(III)
(I), (II), (III) fonksiyonları toplanıp tam genel çözüm y(x) = C1 + C2·x + C3·e^(-x) + x^4 / 3 - 4x^3 / 3 + 4x^2 + (3 / 2)·e^x.
---
y''' + y' = tanx·secx sorusunu soran hoca kimse otursun en sondaki üç bilinmeyenli denklemlerin çözümünden çıkan integralleri almakla kendi uğraşsın!
r^3 + r = 0 ⇒ r(r^2 + 1) = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = 0 + 1·i, r3 = 0 - 1·i
Homojen Çözüm: y = c1·e^(0·x) + e^(0·x)(C2·cosx + C3·sinx) = C1 + C2·cosx + C3·sinx....(I)
(I) eşitliğinden türevler alınarak,
y' = C1' + C2'·cosx - C2·sinx + C3'·sinx + C3·cosx eşitliğinde C1' + C2'·cosx + C3'·sinx = 0....(II)
y' = -C2·sinx + C3·cosx....(III)
y'' = -C2'·sinx - C2·cosx + C3'·cosx - C3·sinx eşitliğinde -C2'·sinx + C3'·cosx = 0....(IV)
y'' = -C2·cosx - C3·sinx....(V)
y''' = -C2'·cosx + C2·sinx - C3'·sinx - C3·cosx....(VI)
(VI) ve (III) eşitlikleri denklemdeki yerlerine yazılıp;
(C2'·cosx + C2·sinx - C3'·sinx - C3·cosx) + (-C2·sinx + C3·cosx) = tanx·secx
C2'·cosx - C3'·sinx = tanx·secx....(VII)
(II), (IV), (VII) numaralı denklemlerden oluşan sistem çözülürse C1', C2', C3' bulunacak sonra onların integralleri alınıp
C1 = f(x) + K1
C2 = g(x) + K2
C3 = h(x) + K3
olarak götürülüp (I) eşitliğindeki yerlerine yazılacak.
Yani Sabitin Değişimi Yöntemini icat eden Lagrange bu soruyu görse, "yürü git işin mi yok" derdi.
---
Yine vicdansızca sorulmuş bir Euler-Cauchy Denklemi.
x = e^t değişken dönüşümüyle;
y' = [ e^(-t) ]·y'(t)
y'' = [ e^(-2t) ][ y''(t) - y'(t) ]
y''' = [ e^(-3t) ][ y'''(t) - 3y''(t) + 2y'(t) ]
türevleri denklemde yerlerine yazılıp x değişkeni yok olacak.
Sol taraf üçüncü mertebeden sabit katsayılı lineer denklem ve sağ taraf da t·e^(t) şeklinde normal bir fonksiyon haline gelecek.
Karakteristik denklemden kökler bulunacak ve homojen çözüm elde edilecek.
Daha sonra köklerin durumuna ve sağ taraftaki fonksiyona göre (at + b)·e^(t) veya k katlı kök varsa (t^k)(at + b)·e^(t) şeklinde bir fonksiyon halinde yazılıp 3 (ÜÇ) kez türev alınacak, türevler denklemdeki yerlerine konulup a ve b katsayıları bulunacak.
Daha sonra x = e^t eşitliğinde x değişkenine geri dönülerek denklemin çözümü tamamlanacak.
İsteyen uğraşsın. Böyle bir hocanın olduğu okuldan kaydımı alırdım.

Rica ederim, herhangi bir öğretmenlik niteliğim yok. Keşke diğer iki soru da normal kategorideki problemler olsaydı.