Soru Diferansiyel Denklemler (3 Soru)

Soru - 1
(y')^2 + 9(y^2) + 4(x^2) = 36 denklemini WolframAlpha (WA) da çözemiyor. Bu nedenle başka forumlara veya varsa ilgili Facebook gruplarına sormanız iyi olur.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(y')^2+9y^2+4x^2=36

İlerleyebildiğim kadarını yine de yazayım:

Çözüm Denemesi - 1
y = ∓[ 36 - 4x^2 - (y')^2 ]^0,5 / 3 haline getirilip y ' = p yazılırsa;
y = ∓(36 - 4x^2 - p^2)^0,5 / 3 ve x değişkenine göre türetilierek;
y' = 3p = ∓(p + 4x) / [ (36 - 4x^2 - p^2)^0,5 ]
3p + (p + 4x) / [ (36 - 4x^2 - p^2)^0,5 ] = 0 ve 3p - (p + 4x) / [ (36 - 4x^2 - p^2)^0,5 ] = 0 denklemlerinin çözümünden düzgün bir
p = f(x) sonucu çıkmıyor.

Çözüm Denemesi - 2:
x değişkenine göre türev alınarak;
2(y')(y'') + 18y(y') + 8x = 0
(y')(y'') + 9y(y') + 4x = 0
y' ile bölünerek; y'' + 9y + 4x / (y') = 0 denklemi bildiğim hiçbir tipe uymadığı gibi yine WA tarafından bile çözülemiyor.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' + 9y + 4x / (y') = 0

Son olarak ancak şunu söyleyebilirim ki; y' = ∓√(36 - 4x^2 - 9y^2) şeklinde yazılırsa çözümün tanım kümesi 36 - 4x^2 - 9y^2 ≥ 0 olup bu da 4x^2 + 9y^2 ≤ 36 elipsi içindeki alan gibi görünüyor ve WolframAlpha da bir çözüm veremese bile "slope field" diyagramında çözüm kümesini bir elips olarak gösteriyor.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'=minus plus sqrt(36-4x^2-9y^2)

Not: http://www.sosmath.com/CBB/viewtopic.php?f=4&t=77725 adresiyle sosmath.com sitesinden de takip edilebilir. (Ne yazık ki bu site de kapandı.)
Many thanks to "Justin" @ sosmath.com for his solution effort using Mathematica. I really appreciate.
---
Soru - 2
Tam bir hamallık sorusu olduğundan ancak gidiş yolunu verebilirim.
(kendi sınavımda veya ödevimde çıksa hiç uğraşmazdım çünkü eminim ki yöntemin mucidi Lagrange bile hortlayıp bir baksa denklemin sağ tarafının standart yapılardan biri olması nedeniyle soruyu o şekilde şartlandıran hocaya bu tür denklemde ne gereği var, bu ne saçma istek derdi.)

Karakteristik denklem r^3 - 3r^2 + 3r - 1 = 0 olup r = 1 üç katlı kök olduğundan homojen çözüm;
yh = (e^x)(C1 + C2·x + C3·x^2)....(0) olup türevler alınırsa;
y' = (e^x)(C1 + C2·x + C3·x^2) + (e^x)(C1' + C2'·x + C2 + C3'·x^2 + 2C3·x) ve buradan bütünler şart: C1' + C2'·x + C3'·x^2 = 0....(I)
O halde y' = (e^x)(C1 + C2·x + C3·x^2) + (e^x)(C2 + 2C3·x)....(II) olup tekrar türev alınırsa;
y'' = (e^x)(C1 + C2·x + C3·x^2) + (e^x)(C1' + C2'·x + C2 + C3'·x^2 + 2C3·x) + (e^x)(C2 + 2C3·x) + (e^x)(C2' + 2C3'·x + 2C3) ve buradan bütünler şart:
C1' + C2'·x + C3'·x^2 + C2' + 2C3'·x = 0
C1' + (x + 1)·C2' + (x^2 + 2x)·C3' = 0....(III)
y'' = (e^x)·(C1 + C2·x + C3·x^2) + (e^x)·(C2 + 2C3·x) + (e^x)·(C2 + 2C3·x) + (e^x)·(2C3)
y'' = (e^x)·(C1 + C2·x + C3·x^2 + C2 + 2C3·x + C2 + 2C3·x + 2C3)
y'' = (e^x)·[ C1 + (x + 2)·C2 + (x^2 + 4x + 2)·C3 ]....(IV)
y''' = (e^x)·[ C1 + (x + 2)·C2 + (x^2 + 4x + 2)·C3 ] + (e^x)·[ C1' + (x + 2)·C2' + (x^2 + 4x + 2)·C3' + C2 + (2x + 4)·C3 ]....(V)
Bundan sonra (0), (II), (IV), (V) ifadeleri denklemde yerlerine konulacak ve sadeleştirmeden sonra son bir sağlama eşitliği daha çıkacak ve bu eşitlikle beraber diğer bütünler şart olan (I) ve (III) denklemiyle beraber çözülerek C1', C2', C3' bulunacak, sonra integralleri alınarak çözüm tamamlanacak. Ölme eşeğim ölme hesabı.
Zamanı olan uğraşsın, ama kimseye tavsiye etmiyorum. Benden bu kadar.
Not:
Bu denklem normalde şöyle çözülür:
İkinci taraflı özel (particular) çözüm: 3 katlı kök olan 1, sağ taraftaki 12e^(1x) ifadesinde olduğundan;
yp = C4·(x^3)·(e^x) fonksiyonunun birinci, ikinci ve üçüncü türevleri alınarak denklemdeki yerlerine yazılıp C4 çözülürse (bu ara basit işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
C4 = 2 ve yp = 2(x^3)·(e^x) bulunur ve tam çözüm de y = yh + yp = (e^x)(C1 + C2·x + C3·x^2) + 2(x^3)·(e^x) olur.
WolframAlpha Kontrolu: https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''' - 3y'' + 3y' - y = 12e^x
---
Soru - 3
x = e^t değişken dönüşümüyle; y' = [ e^(-t) ]·(dy / dt) ve y'' = [ e^(-2t) ]·[ (d^2)y / d(t^2) - dy / dt ] olarak denklemin yeni hali;
[ e^(2t) ]·[ e^(-2t) ]·[ (d^2)y / d(t^2) - dy / dt ] + (e^t)·[ e^(-t) ]·(dy / dt) + 4y = cos2t
(d^2)y / d(t^2) + 4y = cos2t
y''(t) + 4y(t) = cos2t
r^2 + 4 = 0 ⇒ r = 0 ∓ 2i
yh(t) = [ e^(0t) ](C1·cos2t + C2·sin2t) = C1·cos2t + C2·sin2t
yh(x) = C1·cos[ 2·ln(x) ] + C2·sin[ 2·(lnx) ]....(I)
Özel çözüm, karakteristik denklemin kökünün sanal bileşeni olan 2 değeri sağ taraftaki cos2t fonksiyonunun da argümanı olduğundan;
yp(t) = t·(A·cos2t + B·sin2t) şeklinde olup türevler alınırsa;
yp'(t) = A·cos2t + B·sin2t + t·(-2A·sin2t + 2B·cos2t)
yp''(t) = -2A·sin2t + 2B·cos2t - 2A·sin2t + 2B·cos2t + t·(-4A·cos2t - 4B·sin2t) ve denklemde yerlerine konulup;
-4A·sin2t + 4B·cos2t - 4A·t·cos2t - 4B·t·sin2t + 4A·t·cos2t + 4B·t·sin2t = cos2t
-4A·sin2t + 4B·cos2t = cos2t eşitliğinden Belirsiz Katsayılar Kuralı ile A = 0 ve B = 1 / 4 bulunarak;
yp(t) = (t / 4)·cos2t
yp(x) = (1 / 4)·[ ln(x) ]·cos[ 2·(lnx) ]....(II)
(I) ve (II) toplanarak tam çözüm;
y = C1·cos[ 2·ln(x) ] + C2·sin[ 2·(lnx) ] + (1 / 4)·[ ln(x) ]·cos[ 2·(lnx) ] bulunur.

WolframAlpha özel çözümün sonucunu aşağıda neden sinüs fonksiyonuyla veriyor bilmiyorum ama çözümümüzde bir hata görmüyorum. Zaten denklemin ikinci tarafı da kosinüslü fonksiyon.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x^2)*(y'')+x(y')+4y=cos(2log(x))
---
Soruların Yedeği: https://i.ibb.co/HPysbvD/3difeqsorusu.png