Çözüldü Diferansiyel Denklemler (4 soru, Sonuncusu istenilenden farklı yöntemle çözülebildi)

Soru - 1
x·y'- (1 + x)·y = x·y^2 Bernoulli diferansiyel denkleminin çözümü

[ y^(-2) ]·y' - [ (1 + x) / x ]·y^(-1) = 1
u = y^(-1) ⇒ -du / dx = [ y^(-2) ]·y'
-du / dx - [ (1 + x) / x ]·u = 1
du / dx + [ (1 + x) / x ]·u = -1....(Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denkleme Dönüştü)
x değişkenine bağlı iki fonksiyon k(x) ve v(x) olmak üzere u = k·v ⇒ du / dx = k·(dv / dx) + v·(dk / dx) değişken dönüşümüyle;
k·(dv / dx) + v·(dk / dx) + [ (1 + x) / x ]·k·v = -1
k·{ dv / dx + [ (1 + x) / x ]·v } + v·(dk / dx) = -1....(I)
dv / dx + [ (1 + x) / x ]·v = 0....(II) olmasını sağlayan v(x) fonksiyonu v(x) = (1 / x)·e^(-x)....(III)
(II) şartıyla (III) fonksiyonuna göre (I) denklemi;
k·0 + [ (1 / x)·e^(-x) ]·(dk / dx) = -1 ⇒ k(x) = C1 + (e^x)(1 - x)....(IV)
(III) ve (IV) fonksiyonlarına göre u = [ C1 + (e^x)(1 - x) ]·(1 / x)·e^(-x) = (C1 / x)·e^(-x) + 1 / x - 1 = y^(-1)
(C1 / x)·e^(-x) + 1 / x - 1 = 1 / y
y = x / [ C1·e^(-x) + 1 - x ]
WolframAlpha (WA) Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x·y'- (1 + x)·y = x·y^2

Not: WA'nın verdiği sonucun aynı olduğunu görmek ilgilenen öğrencilere ödev.
---
Soru - 2
y = x·y'+ x^2 / 2 + (y' + x)^2 diferansiyel denkleminin tekil ve genel çözümlerinin bulunması

F(x, y, y') = x·y'+ x^2 / 2 + (y' + x)^2
∂F / ∂y' = x + 2(y' + x)·1 = 0 ⇒ 2y' = -3x ⇒ y' = -3x / 2
veya
y' = p
y = x·p + x^2 / 2 + (p + x)^2
y' = p + x·dp / dx + x + 2(p + x)(dp / dx + 1)
p = p + x·dp / dx + x + 2(p + x)(dp / dx + 1)
x·dp / dx + x + 2(p + x)(dp / dx + 1) = 0
x·dp / dx + x + 2[ p(dp / dx) + p + x(dp / dx) + x ] = 0
3x(dp / dx) + 3x + 2p(dp / dx) + 2p = 0
(3x + 2p)(dp / dx) + (3x + 2p) = 0
(3x + 2p)(dp / dx + 1) = 0
3x + 2p = 0 ⇒ p = -3x / 2 ⇒ dy / dx = y' = -3x / 2 olup bu eşitlik denklemdeki yerine yazılırsa;
y = x·(-3x / 2) + x^2 / 2 + (-3x / 2 + x)^2
y = -3x^2 / 2 + x^2 / 2 + (-x / 2)^2
y = -x^2 + x^2 / 4
y = -3x^2 / 4 olarak Tekil Çözüm bulunur.

dp / dx + 1 = 0 ⇒ p = C1 - x
dy / dx = C1 - x ⇒ y(x) = C1·x + C2 - x^2 / 2 Genel Çözümdür.
---
Soru - 3
y''' + y' = 2x^2 + 4sinx diferansiyel denkleminin Belirsiz Katsayılar Yöntemi (Kuralı) ile bulunması

d / dx = r türev operatörü olmak üzere karakteristik denklem (auxiliary polynomial);
r^3 + r = 0 ⇒ r(r^2 + 1) = 0 ⇒ r1 = 0, r2 = 0 ∓ 1·i
Sağ tarafsız homojen çözüm:
yh(x) = C1·[ e^(0·x) ] + [ e^(0·x) ]·[ C2·cos(1·x) + C3·sin(1·x) ]
yh(x) = C1 + C2·cos(x) + C3·sin(x)
Sağ taraflı birinci özel (particular) çözüm:
Karakteristik denklemde y terimi olmadığından yp1(x) = x(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx olup türevler alınıp denklemdeki yerlerine konularak;
y' = 3ax^2 + 2bx + c
y'' = 6ax + 2b
y''' = 6a
6a + 3ax^2 + 2bx + c = 2x^2
3ax^2 + 2bx + 6a + c = 2x^2 olup Belirsiz Katsayılar Kuralı (Undetermined Coefficients Rule) ile;
3a = 2 ⇒ a = 2 /3
2b = 0 ⇒ b = 0
6a + c = 0 ⇒ c = -6(2 / 3) = -4
yp1(x) = 2x^3 / 3 - 4x
Sağ taraflı ikinci özel çözüm:
Karakteristik denklemin sanal kökünün trigonometrik fonksiyondaki argüman (1), aynı zamanda sağ taraftaki 4sin(1·x) fonksiyonunun da argümanı olduğundan;
yp2(x) = x(A·cosx + B·sinx) = A·x·cosx + B·x·sinx yazılıp türevler alınırsa;
y' = -A·x·sinx + A·cosx + B·sinx + B·x·cosx
y'' = -2A·sinx - A·x·cosx - B·x·sinx + 2B·cosx
y''' = A·x·sinx - 3A·cosx - 3B·sinx - B·x·cosx
Türev fonksiyonları denklemdeki yerlerine konulup;
(A·x·sinx - 3A·cosx - 3B·sinx - B·x·cosx) + (-A·x·sinx + A·cosx + B·sinx + B·x·cosx) = 4sinx
-3A·cosx - 3B·sinx + A·cosx + B·sinx = 4sinx
-2A·cosx - 2B·sinx = 4sinx
-2A = 0 ⇒ A = 0
-2B = 4 ⇒ B = -2
yp2(x) = -2x·sinx
Tam Genel Çözüm: y(x) = yh(x) + yp1(x) + yp2(x) = C1 + C2·cos(x) + C3·sin(x) + 2x^3 / 3 - 4x - 2x·sinx

WolframAlpha (WA) Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''' + y' = 2x^2 + 4sinx

Not: WA'nın verdiği sonuçta homojen çözümdeki katsayıların yerlerinin değişikliği tamamen keyfidir.
---
Soru - 4
y'' + y = x·(e^x)·cos2x diferansiyel denkleminin türev operatörüyle çözümü.

İsteyen aşağıda anlatıldığı gibi uğraşsın. Eşitliğin sağ tarafı öyle sadistçe verilirse kendi sınavım veya ödevim olsa bile dönüp bakmam.
https: // www . youtube . com / watch?v=cYkURwH96Y0
---
Soruların Yedeği: https://i.ibb.co/SDm37J7j/t5uAXM.png

4. sorunun Lagrange Sabitin Değişimi [ Variation of Parameters (Constants) ] Yöntemi ile çözümü de en az yukarıdaki kadar eziyetli:

r^2 + 1 = 0 ⇒ r = 0 ∓ 1·i
yh(x) = [ e^(0·x) ]·x(A·cosx + B·sinx) = A·cosx + B·sinx....(0)
y' = A'·cosx - A·sinx + B'·sinx + B·cosx
A'·cosx + B'·sinx = 0....(I)
y' = -A·sinx + B·cosx....(II)
y'' = -A'·sinx - A·cosx + B'·cosx - B·sinx....(III)
(III) ve (II) diferansiyel denklemdeki yerlerine yazılıp;
-A'·sinx - A·cosx + B'·cosx - B·sinx + A·cosx + B·sinx = x·(e^x)·cos2x
-A'·sinx + B'·cosx = x·(e^x)·cos2x....(IV)
(I) ve (IV) eşitliklerinden kurulan denklem sistemi;

A'·cosx + B'·sinx = 0....(V)
-A'·sinx + B'·cosx = x·(e^x)·cos2x olup çözülürse;

(sinx)·(A'·cosx + B'·sinx) = 0·sinx
(cosx)·(-A'·sinx + B'·cosx) = (cosx)·[ x·(e^x)·cos2x ]

A'·sinx·cosx + B'·(sinx)^2 = 0
-A'·sinx·cosx + B'·(cosx)^2 = x·(e^x)·(cosx)(cos2x) denklemleri taraf tarafa toplanarak;

B' = x·(e^x)·(cosx)·(cos2x)....(VI)

B = ∫ x·(e^x)·(cosx)·(cos2x)dx + C2....(VII) (bu integralle uğraşılacak)

(VI) eşitliği (V) denklemindeki yerine konularak;
A'·cosx + [ x·(e^x)·(cosx)·cos(2x) ]·sinx = 0
A' = -x·(e^x)·(cos2x)·sinx

A = ∫ [ -x·(e^x)·(cos2x)·sinx ] dx + C1....(VIII) integrali de yine uğraşan olursa çözülecek;

(VII) ve (VIII) eşitlikleri (0) homojen çözümündeki yerlerine yazılıp düzenlenerek sadeleştirilip WolframAlpha'nın aşağıda verdiği tam genel çözüm bulunacak:

y(x) = c1·cosx + c2·sinx - (1 / 25)·(e^x)·sin2x + (1 / 5)·(e^x)·x·sin2x + (11 / 50)·(e^x)·cos2x - (1 / 10)·(e^x)·x·cos2x

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' + y = x(e^x)(cos(2x))