Çözüldü Diferansiyel Denklemler (4 soru, Sonuncusu istenilenden farklı yöntemle çözülebildi)

Rica ederim, iyi çalışmalar.

Belki başka bir sınavda veya ödevde, sağ tarafı yine böyle abartılı verilen benzer bir soru çıkarsa diye 4. soru olan y'' + y = x·(e^x)·cos2x diferansiyel denkleminin Belirsiz Katsayılar Kuralı (Yöntemi) ile Çözümü:

Karakteristik Denklem: r^2 + 1 = 0 ⇒ r = 0 ∓ 1·i
Sağ tarafsız homojen çözüm: yh(x) = [ e^(0·x) ]·x(A·cosx + B·sinx) = A·cosx + B·sinx....(0)
Sağ taraflı özel (particular) çözüm: yp(x) = (e^x)(ax + b)cos2x + (e^x)(cx + d)sin2x....(I)

y' = (e^x)(ax + b)cos2x + a(e^x)cos2x - 2(e^x)(ax + b)sin2x + (e^x)(cx + d)sin2x + c(e^x)sin2x + 2(e^x)(cx + d)cos2x
y' = [ (e^x)(ax + b) + a(e^x) + 2(e^x)(cx + d) ]cos2x + [ -2(e^x)(ax + b) + (e^x)(cx + d) + c(e^x) ]sin2x

y'' = [ (e^x)(ax + b) + a(e^x) + a(e^x) + 2(e^x)(cx + d) + 2c(e^x) ]cos2x - 2[ (e^x)(ax + b) + a(e^x) + 2(e^x)(cx + d) ]sin2x +
[ -2(e^x)(ax + b) - 2a(e^x) + (e^x)(cx + d) + c(e^x) + c(e^x) ]sin2x + 2[ -2(e^x)(ax + b) + (e^x)(cx + d) + c(e^x) ]cos2x

y'' = [ (e^x)(ax + b) + 2a(e^x) + 2(e^x)(cx + d) + 2c(e^x) - 4(e^x)(ax + b) + 2(e^x)(cx + d) + 2c(e^x) ]cos2x +
[ -2(e^x)(ax + b) - 2a(e^x) - 4(e^x)(cx + d) - 2(e^x)(ax + b) - 2a(e^x) + (e^x)(cx + d) + 2c(e^x) ]sin2x

y'' = [ -3(e^x)(ax + b) + 4(e^x)(cx + d) + 2a(e^x) + 4c(e^x) ]cos2x +
[ -4(e^x)(ax + b) - 4a(e^x) - 3(e^x)(cx + d) + 2c(e^x) ]sin2x....(II)

(II) ve (I) denklemdeki yerlerine sırasıyla yazılırsa;
[ -3(e^x)(ax + b) + 4(e^x)(cx + d) + 2a(e^x) + 4c(e^x) ]cos2x +
[ -4(e^x)(ax + b) - 4a(e^x) - 3(e^x)(cx + d) + 2c(e^x) ]sin2x +
(e^x)(ax + b)cos2x + (e^x)(cx + d)sin2x = x(e^x)cos2x

[ -3(e^x)(ax + b) + 4(e^x)(cx + d) + 2a(e^x) + 4c(e^x) + (e^x)(ax + b) ]cos2x +
[ -4(e^x)(ax + b) - 4a(e^x) - 3(e^x)(cx + d) + 2c(e^x) + (e^x)(cx + d) ]sin2x = x(e^x)cos2x

[ -2(e^x)(ax + b) + 4(e^x)(cx + d) + 2a(e^x) + 4c(e^x) ]cos2x +
[ -4(e^x)(ax + b) - 4a(e^x) - 2(e^x)(cx + d) + 2c(e^x) ] = x(e^x)cos2x

[ -2(ax + b) + 4(cx + d) + 2a + 4c ]·cos2x + [ -4(ax + b) - 4a -2(cx + d) + 2c ]·sin2x = x·cos2x eşitliğinde Belirsiz Katsayılar Kuralı ile;

-2(ax + b) + 4(cx + d) + 2a + 4c = x
-4(ax + b) - 4a - 2(cx + d) + 2c = 0

(-2a + 4c)x + (2a - 2b + 4c + 4d) = x
(-4a - 2c)x - 4a - 4b + 2c - 2d = 0

-2a + 4c = 1....(III)
2a - 2b + 4c + 4d = 0....(IV)
-4a - 2c = 0....(V)
-4a - 4b + 2c - 2d = 0....(VI)
(III), (IV), (V), (VI) eşitliklerinden oluşan dört bilinmeyenli sistem önce (III) ve (V), sonra da (IV) ve (VI) olmak üzere çözülürse;
(ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev)

a = -1 / 10
b = 11 / 50
c = 1 / 5
d = -1 / 25

Bu katsayılarla (I) özel çözümü: yp(x) = (e^x)·(-x / 10 + 11 / 50)·cos2x + (e^x)·(x / 5 - 1 / 25)·sin2x...(VII)

(0) ve (VII) toplanarak Tam Genel Çözüm: y(x) = yh(x) + yp(x)

y(x) = A·cosx + B·sinx + (e^x)·(-x / 10 + 11 / 50)·cos2x + (e^x)·(x / 5 - 1 / 25)·sin2x olarak WA'nın yukarıda verdiği sonuç
(A = C1, B = C2) bulunmuş olur ve bu çözüm de sağ tarafı böylesi acımasız yapılardaki denklemler için bence en kolay olandır.