Soru Diferansiyel Denklemler (4 Soru, Üçü Çözüldü, Biri Çözülemedi) )

Soru - 1
y''' + 4y'' + 14y' + 20y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 8, y''(0) = -6

r^3 + 4r^2 + 14r + 20 = 0
(r + 2)(r^2 + 2r + 10) = 0
r1 = -2, r2 = -1 - 3i, r3 = -1 + 3i
y(x) = C1·e^(-2x) + [ e^(-x) ]·(C2·cos3x + C3·sin3x)....(I)
y'(x) = -2C1·e^(-2x) - 3C2·[ e^(-x) ]·sin(3x) - C2·e^(-x)·cos(3x) - C3·[ e^(-x) ]·sin(3x) + 3C3·[ e^(-x) ]·cos(3x)....(II)
y''(x) = 4C1·e^(-2x) + [ e^(-x) ]·{ C2·[ 6sin(3x) - 8cos(3x) ] + C3·[ -8sin(3x) - 6cos(3x) ] }....(III)
(I) eşitliğinden y(0) = 0 = C1 + C2....(IV)
(II) eşitliğinden y'(0) = 8 = -2C1 - C2 + 3C3....(V)
(III) eşitliğinden y''(0) = -6 = 4C1 - 8C2 - 6C3....(VI)
(IV), (V), (VI) denklemlerinden oluşan üç bilinmeyenli denklem sistemi çözülerek C1 = 1, C2 = -1, C3 = 3 katsayıları (I) denklemindeki yerlerine konulup;
y(x) = e^(-2x) + [ e^(-x) ]·(3sin3x - cos3x)

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''' + 4y'' + 14y' + 20y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 8, y''(0) = -6
---
Soru - 2
Bunu soran hoca otursun kendi uğraşsın ve en kısa zamanda da iyi bir psikiyatri uzmanına muayene olsun. Hiç şaka yapmıyorum.
---
Soru - 3
y'' - 2y' - 3y = x·e^(2x) + x·e^(-x)

r^2 - 2r - 3 = 0
(r - 3)(r + 1) = 0
r1 = 3, r2 = -1
Homojen Çözüm: yh(x) = C1·e^(3x) + C2·e^(-x)
Birinci Özel Çözüm: yö1(x) = (ax + b)·e^(2x)
y' = a·e^(2x) + 2(ax + b)·e^(2x) = [ e^(2x) ]·(2ax + a + 2b)
y'' = [ 4e^(2x) ]·(ax + a + b)
[ 4e^(2x) ]·(ax + a + b) - 2[ e^(2x) ]·(2ax + a + 2b) - 3(ax + b)·e^(2x) = x·e^(2x)
4(ax + a + b) - 2(2ax + a + 2b) - 3(ax + b) = x
-3ax + 2a - 3b = x
-3a = 1 ⇒ a = -1 / 3
2a - 3b = 0 ⇒ b = 2a / 3 = -2 / 9
yö1(x) = (-x / 3 - 2 / 9)·e^(2x)
r2 = -1 bir katlı kökü x·e^(-x) ifadesindeki üstel fonksiyonda olduğu için;
yö2(x) = (x^1)·(ax + b)·[ e^(-x) ] = (ax^2 + bx)·[ e^(-x) ]
y' = -a·[ e^(-x) ]·x^2 + 2a·x·[ e^(-x) ] - b·x·[ e^(-x) ] + b·[ e^(-x) ]
y' = -a·[ e^(-x) ]·x^2 + (2a - b)·x·[ e^(-x) ] + b·e^(-x)
y'' = a·[ e^(-x) ]·x^2 - 4a·x·[ e^(-x) ] + 2a·[ e^(-x) ] + bx·[ e^(-x) ] - 2b·[ e^(-x) ]
Türev fonksiyonları denklemdeki yerlerine yazılıp [ e^(-x) ] terimleri sadeleştirilirse;
ax^2 - 4ax + 2a + bx - 2b + 2ax^2 - 4ax + 2bx - 2b - 3(ax^2 + bx) = x
(-8a + b + 2b - 3b)x + 2a - 2b - 2b = x
-8ax + 2a - 4b = x
-8a = 1 ⇒ a = -1 / 8
2a - 4b = 0 ⇒ b = a / 2 = -1 / 16
yö2(x) = (-x^2 / 8 - x / 16)·[ e^(-x) ]
y(x) = yh(x) + yö1(x) + yö2(x)
y(x) = C1·[ e^(3x) ] + C2·[ e^(-x) ] - (x / 3 + 2 / 9)·[ e^(2x) ] - (x^2 / 8 + x / 16)·[ e^(-x) ]

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' - 2y' - 3y = x·e^(2x) + x·e^(-x)
---
Soru - 4
y'' - 2y' + y = (e^x) / (x^2) diferansiyel denkleminin Lagrange Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) Yöntemi ile çözümü:

r^2 - 2r + 1 = 0 ⇒ (r - 1)^2 = 0 ⇒ r1 = r2 = 1 iki katlı kök
yh(x) = (e^x)·(C1 + C2·x)....(I)
y' = (e^x)(C1 + C2·x) + C2·(e^x) + (e^x)·(C1' + C2'·x)
Birinci bütünler şart C1' + C2'·x = 0....(II)
y' = (e^x)(C1 + C2 + C2·x)....(III)
y'' = (e^x)(C1 + C2 + C2·x) + C2·(e^x) + (e^x)(C1' + C2' + C2'·x)....(IV)
(IV), (III), (I) eşitlikleri denklemdeki yerlerine yazılıp;
(e^x)(C1 + C2 + C2·x) + C2·(e^x) + (e^x)(C1' + C2' + C2'·x) - 2(e^x)(C1 + C2 + C2·x) + (e^x)·(C1 + C2·x) = (e^x) / (x^2)
C1 + C2 + C2·x + C2 + C1' + C2' + C2'·x - 2C1 - 2C2 - 2C2·x + C1 + C2·x = 1 / x^2
C1' + C2' + C2'·x = 1 / x^2
C1' + (1 + x)·C2' = 1 / x^2....(V)
(II) ve (V) denklemleri taraf tarafa çıkarılıp;
C2' = 1 / x^2....(VI) ⇒ C2 = -1 / x + K2....(VII)
(VI) eşitliği (II) denkleminde kullanılarak C1' + (1 / x^2)·x = 0 ⇒ C1' = -1 / x ⇒ C1 = -lnx + K1....(VIII)
(VII) ve (VIII) katsayıları (I) denklemine götürülerek genel çözüm;
y(x) = (e^x)·[ -lnx + K1 + (-1 / x + K2)·x ]
y(x) = (e^x)·(-lnx + K1 - 1 + K2·x)
y(x) = (e^x)·[ -ln(x) + A + B·x ]

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'' - 2y' + y = (e^x) / (x^2)
---

Rica ederim. İyi çalışmalar.
Not: Herhangi bir öğretmenlik niteliğim yok, amatörce ilgileniyorum.