Çözüldü Diferansiyel Denklemler (6 Soru) (Biri çözülemedi)

SORU-1
Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) yöntemi uygulanabilir ve karakteristik denklemden r^2 - 8r + 16 = (r - 4)^2 = 0 ⇒ r = 4 (iki katlı kök) bulunur.

Genel çözüm:
y = (c1 + c2·x)·e^(-4x)....(I) ⇒ y ' = (c1' + c2'·x + c2)·e^(-4x) - 4(c1 + c2·x)·e^(-4x)....(II) ve buradan bütünler şart
(Prof. Ahmet A. Karadeniz'in tanımıdır) olarak; c1' + c2'·x = 0....(III)

(III) eşitliğine göre (II) numaralı birinci türev fonksiyonu düzenlenirse y ' = [ e^(-4x) ]·(c2 - 4c1 - 4c2·x)....(IV)

(IV) eşitliğinden ikinci türev de y '' = [ -4e^(-4x) ]·(c2 - 4c1 - 4c2·x) + [ e^(-4x) ]·(c2' - 4c1' - 4c2'·x - 4c2) ve düzenlenirse;

y '' = [ e^(-4x) ]·(c2' - 4c1' - 4c2'·x - 4c2 - 4c2 + 16c1 + 16c2·x)

y'' = [ e^(-4x) ]·(-4c1' - 4c2'·x + c2' - 8c2 + 16c1 + 16c2·x)....(V)

(I), (IV), (V) eşitlikleri problemdeki denklemde yerlerine yazılırsa;

[ e^(-4x) ]·(-4c1' - 4c2'·x + c2' - 8c2 + 16c1 + 16c2·x) + 8[ e^(-4x) ]·(c2 - 4c1 - 4c2·x) + 16[ e^(-4x) ]·(c1 + c2·x) = (x^4)·e^(-4x) + e^(2x) ve iki taraf e^(-4x) ile bölünerek düzenlenirse;

-4c1' - 4c2'·x + c2' - 8c2 + 16c1 + 16c2·x + 8c2 - 32c1 - 32c2·x + 16c1 + 16c2·x = x^4 + e^(6x) ve sadeleştirmeler yapılırs;

-4c1' - 4c2'·x + c2' = x^4 + e^(6x)....(VI)

(III) denklemi 4 ile çarpılıp (VI) denklemiyle beraber taraf tarafa toplanırsa;

4c1' + 4c2'·x = 0

-4c1' - c2'(4x - 1) = x^4 + e^(6x)

c2' = x^4 + e^(6x)....(VII) ⇒ c2 = x^5 / 5 + e^(6x) / 6 + K2....(VIII)

(VII) değeri (III) eşitliğinde yerine yazılırsa c1' + [ x^4 + e^(6x) ]·x = 0 ⇒ c1' = -x^5 - xe^(6x) ve integral alınarak (ikinci terim için kısmi integrasyon uygulanır);

c1 = -x^6 / 6 - (x / 6)e^(6x) + e^(5x) / 36 + K1....(IX)

(VIII) ve (IX) eşitlikleri (I) ifadesinde yerlerine yazılırlarsa;

y = { -x^6 / 6 - (x / 6)e^(6x) + e^(6x) / 36 + K1 + [ x^5 / 5 + e^(6x) / 6 + K2 ]·x }·e^(-4x) olup parantez açılırsa;

y = -(x^6 / 6)·e^(-4x) - (x / 6)·e^(2x) + e^(2x) / 36 + K1·e^(-4x) + (x^6 / 5)·e^(-4x) + (x / 6)·e^(2x) + K2·x·e^(-4x) ve sadeleştirilip kesir toplamalarıyla düzenlenirse;

y = (K1 + K2·x)·e^(-4x) + (x^6 / 30)·e^(-4x) + e^(2x) / 36

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''+8y'+16y=(x^4)e^(-4x)+e^(2x)
---
SORU-2
Bence soruda bir hata var çünkü y = ux dönüşümüyle bu haline göre çözüme gidildiğinde elemanter işlemlerle yapılamayan bir integral, ∫2du / (2u^3 + 6u - 1), ortaya çıkıyor ve zaten WolframAlpha da sorunun bu haline ait çözümü karmakarışık veriyor: http://www.wolframalpha.com/input/?i=(2xy-x^2)dx+(2y^2+4x^2)dy=0
Soruyu veren hocaya veya başka forumlara sorulması iyi olur. Lisans düzeyinde bir çözümü varsa ben de öğrenmek isterim.
Not: Eğer 4x^2 yerine x^2 olsaydı çözüm hem y = ux dönüşümüyle homojen denklem olarak, hem de bu durumda tam diferansiyel olduğu için yine kolayca çözülebiliyor.
---
SORU-3
ℒ[y''] - 8ℒ[y'] + 15ℒ[y] = ℒ[9te^(-2t)]

(s^2)·Y(s) - s·y(0) - y'(0) - 8[s·Y(s) - y(0) ] + 15Y(s) = 9 / (s + 2)^2 ve başlangıç değerleri burada yerlerine yazılırlarsa;

(s^2)·Y(s) - 5s - 10 - 8s·Y(s) + 8·5 + 15Y(s) = 9 / (s + 2)^2

Y(s) = 9 / { [ (s + 2)^2 ]·(s - 3)·(s - 5) } + (5s - 30) / [ (s - 3) (s - 5) ] olup sağ taraf basit rasyonel kesirlere ayrılırsa;

Y(s) = 9 / { [ (s + 2)^2 ]·(s - 3)·(s - 5) } + (5s - 30) / [ (s - 3) (s - 5) ] ≡ A / (s + 2)^2 + B / (s + 2) + C / (s - 3) + D / 9(s - 5)....(I)

9 + [ (s + 2)^2 ]·(5s - 30) ≡ A(s^2 - 8s + 15) + B(s + 2)(s^2 - 8s + 15) + C(s^2 + 4s + 4)(s - 5) + D(s^2 + 4s + 4)(s - 3)

9 + (s^2 + 4s + 4)(5s - 30) ≡ As^2 - 8A·s + 15A + B(s^3 - 8s^2 + 15S + 2s^2 - 16s + 30) + C(s^3 - 5s^2 + 4s^2 - 20s + 4s - 20) + D(s^3 - 3s^2 + 4s^2 - 12s + 4s - 12)

5s^3 - 10s^2 - 100s - 111 ≡ As^2 - 8A·s + 15A + B·s^3 - 6B·s^2 - B·s + 30B + C·s^3 - C·s^2 - 16C·s - 20C + D·s^3 + D·s^2 - 8D·s - 12D

5s^3 - 10s^2 - 100s - 111 ≡ (B + C + D)·s^3 + (A - 6B - C + D)·s^2 + (-8A - B - 16C - 8D)·s + 15A + 30B - 20C - 12D ve Belirsiz Katsayılar Kuralı (Undetermined

B + C + D = 5....(1)
A - 6B - C + D = -10....(2)
-8A - B - 16C - 8D = -100....(3)
15A + 30B - 20C - 12D = -111....(4)

1, 2, 3, 4 numaralı denklemler çözülürse;

A = 9 / 35
B = 108 / 1225
C = 183 / 25
D = -118 / 49

(I) ifadesinden ters Laplace dönüşümüyle;

y(t) = (9 / 35)te^(-2t) + (108 / 1225)e^(-2t) + (183 / 25)e^(3t) - (118 / 49)e^(5t) ve payda eşitlenerek düzenlenirse;

y(t) = [ e^(-2t) ]·[315t + 8967e^(5t) - 2950e^(7t) + 108] / 1225

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y''-8y'+15y=9t(e^(-2t)),y(0)=5,y'(0)=10
---
SORU-4


(s + 5) / [ s(s + 2)(s + 1) ] ≡ A / s + B / (s + 2) + C / (s + 1)....(I)

(s + 5) / [ s(s + 2)(s + 1) ] ≡ [ A(s^2 + 3s + 2) + B(s^2 + s) + C(s^2 + 2s) ] / [ s(s + 2)(s + 1) ]

s + 5 ≡ (A + B + C)s^2 + (3A + B + 2c)s + 2A

A + B + C = 0....(1)
3A + B + 2C = 1....(2)
2A = 5....(3)

1, 2, 3 numaralı denklemlerden A = 5 / 2, B = 3 / 2, C = -4 bulunup (I) eşitliğinde yerlerine yazılarak ters Laplace dönüşümüyle;



WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse laplace((s+5)/(s^3+3s^2+2s))=?
---
SORU-5
Köklere göre karakteristik denklemi [ (r - 2)^4 ]·[ (r + 5)^2 ]·(r - 3)·(r - 3 - 4i)·(r - 3 + 4i) olan dokuzuncu mertebeden lineer ve sabit katsayılı diferansiyel denklemin ikinci tarafsız genel çözümü;

y = (c1 + c2·x + c3·x^2 + c4·x^3)·e^(2x) + (c5 + c6·x)·e^(-5x) + [ e^(3x) ]·(c7 + c8·cos4x + c9·sin4x)
---
SORU-6
(∂ / ∂x)[ (x^2)y + 3y - 1 ] = 2xy

(∂ / ∂y)[ x(y^2) - 3 ] = 2xy

Bu nedenle Tam (Exact) Diferansiyel denklem olup u(x, y) = c gibi bir genel çözümü olduğundan;

M(x, y) = ∂u / ∂x = x(y^2) - 3 ⇒ u(x, y) = (x^2)(y^2) / 2 - 3x + F(y)....(I)

∂u / ∂y = (x^2)y + F '(y) = (x^2)y + 3y - 1 = N(x, y) ⇒ F '(y) = 3y - 1 ⇒ F(y) = 3y^2 / 2 - y + K....(II)

(II) değeri (I) eşitliğinde yerine yazılırsa; u(x, y) = (x^2)(y^2) / 2 - 3x + 3y^2 / 2 - y + K = c ve buradan da;

(x^2)(y^2) / 2 - 3x + 3y^2 / 2 - y = c1 ve düzenlenirse (xy)^2 - 6x + 3y^2 - 2y = c1 olur veya y(x) bulunacak şekilde ikinci derece denklem halinde düzenlenirse;

(x^2 + 3)y^2 - 2y - (6x + c1) = 0

y = { 1 ∓ [ 1 + (c1 + 6x)(x^2 + 3) ]^0,5 } / (x^2 + 3)

y = [ 1 ∓ (1 + c1·x^2 + 3c1 + 6x^3 + 18x)^0,5 ] / (x^2 + 3)

y = { 1 ∓ [c1·(x^2 + 3) + 6x(x^2 + 3) + 1]^0,5 } / (x^2 + 3)

WolframAlpha Kontrolu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=((x)y^2-3)dx+((x^2)y+3y-1)dy=0
---
Soruların yedeği: https://i.ibb.co/hZy1ktQ/dif-denklemler.jpg