Soru Diferansiyel Denklemler

Soru - 7
Merminin kütlesi: m (gram)
k: Bir katsayı (resimde β)
m·x''(t) = -k·(100^2 - 80^2) = -k·3600
x''(t) + (k·3600 / m) = 0 denkleminde karakteristik polinomun çözümü r = 0 ∓ i·60·√(k / m)
A ve B gerçel sabitler olmak üzere diferansiyel denklemin çözümü:
x(t) = [ e^(0·t) ]·{ A·cos[ 60t·√(k / m) ] + B·sin[ 60t·√(k / m) ] }
x(t) = A·cos[ 60t·√(k / m) ] + B·sin[ 60t·√(k / m) ]
Başlangıçta yani mermi ateşlenmeden x(0) = 0 ⇒ 0 = A + B·0 ⇒ A = 0 olup denklem x(t) = B·sin[ 60t·√(k / m) ] halini alır.
x'(t) = [ 60·√(k / m) ]·B·cos[ 60t·√(k / m) ]
x'(0) = 100 m / s = [ 60·√(k / m) ]·B·1 ⇒ B = (5 / 3)·√(m / k)
Böylece özel çözüm x(t) = [ (5 / 3)·√(m / k) ]·sin[ 60t·√(k / m) ]
1 / 10 = [ (5 / 3)·√(m / k) ]·sin[ 60t·√(k / m) ]
(3 / 50)·√(k / m) = sin[ 60t·√(k / m) ]
arcsin[ (3 / 50)·√(k / m) ] = 60t·√(k / m) denkleminden;
t = [ (1 / 60)·√(m / k) ]·arcsin[ (3 / 50)·√(k / m) ].
---
Soru - 8
20000 m^3'lük oda nasıl bir şey hayal edemiyorum.
y(t) : t anında odadaki temiz hava hacmi (m^3)
y'(t) : t anında odada temiz hava hacmindeki değişim (m^3 / dakika)
y'(t) = 20000 - 600 = 19400
y(t) = 19400·t + A
a) y(0) = 0 ⇒ 0 = A ⇒ y(t) = 19400·t
b) 20000·(90 / 100) = 19400·t ⇒ t = 90 / 97 dakika.
---
Soru - 9
Bu problemde eksik olan katsayılar E ve I ama onların da fiziksel anlamlarını aşağıdaki kitapta göremedim. Bir inşaat mühendisi bilebilir.
https://epdf.tips/schaums-outline-of-laplace-transforms67d29084a399a31f420ad9ddbc80dfbd1620.html
Sayfa 95 (pdf dosyada sayfa 102) Problem 21.
Kitaptaki probleme göre x = l / 3 verilen uzaklık x = L ve P0 olan kuvvet de W ile değiştirilecek.