Soru Diferansiyel Denklemler

Zaman varsa başka forumlara veya ilgili Facebook gruplarına da sorulması iyi olur.

Hooke Yasası gereğince kütleyi geri getiren kuvvet (restoring force): -k·(A + x)
x'' = d^2(x) / d(t^2) olarak ve Newton'un 2. Dinamik Yasası'na göre;
m·x'' = -k·(A + x) + m·g, ayrıca denge durumunda m·g = k·A olduğundan denklem m·x'' + k·x = 0 olur.

a)
Frekans: f (Hz = 1 / s)
Periyot: T (saniye) = 1 / f
Açısal frekans (radyan / saniye): ω = 2πf = 2π / T

b)
ω = √(k / m) alınarak denklemin yeni şekli x'' + (ω^2)·x = 0 ve çözülürse hareketin konum fonksiyonu: x(t) = C1·cos(ω·t) + C2·sin(ω·t)....(I)
x(0) = x0 ve x'(0) = v0 başlangıç şartları fonksiyonun kendisinde ve türevinde kullanılırsa;
x(0) = x0 = C1·1 + 0 ⇒ C1 = x0....(II)
x'(t) = -C1·ω·sin(ω·t) + C2·ω·cos(ω·t) ve yolun zamana göre türevi hız olduğundan ve aşağı (downward) yön pozitif alınarak;
x'(0) = +v0 = 0 + C2·ω·1 ⇒ C2 = v0 / ω....(III)
(II) ve (III), (I) eşitliğindeki yerlerine yazılarak hareketin konum fonksiyonu;
x(t) = x0·cos(ω·t) + (v0 / ω)·sin(ω·t)

c)
Faz açısı: α
En uzak yer değiştirme konumu: X
Genlik: X + A = (C1^2 + C2^2)^0,5 = [ x0^2 + (v0 / ω)^2 ]^0,5
cos(α) = C1 / (X + A) = x0 / { [ x0^2 + (v0 / ω)^2 ]^0,5 }
sin(α) = C2 / (X + A) = (v0 / ω) / { [ x0^2 + (v0 / ω)^2 ]^0,5 } = v0 / { [ (x0·ω)^2 + v0^2 ]^0,5 }
tan(α) = C2 / C1 = (v0 / ω) / x0
α = arctan[ v0 / (x0·ω) ]
Ve genlik ile faz açısına bağlı olarak hareketin konum fonksiyonu x(t) = (X + A)·cos(ω·t - α) olur.

Kaynaklar:
https://drive.google.com/file/d/1AN7NMmd0Rbic73e5TVjmy325ZKcuI7FA/view?usp=sharing
[sayfa 138 - 140 (pdf dosyada 151 - 153)
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book:_Calculus_(OpenStax)/17:_Second-Order_Differential_Equations/17.3:_Applications_of_Second-Order_Differential_Equations
https://www.usna.edu/Users/math/hottovy/_files/documents/sm212/Section5p12.pdf
https://opentextbc.ca/calculusv3openstax/chapter/applications/
https://www.stewartcalculus.com/data/CALCULUS Concepts and Contexts/upfiles/3c3-AppsOf2ndOrders_Stu.pdf