Çözüldü Dik Üçgende Uzunluk ve Açı - Çemberde Çevre ve Merkez Açı - Trigonometri - Pisagor Teoremi

Bir kitaptaki sanki ikizkenarmış gibi yanıltıcı üçgenle sorulmuş problemin fen lisesi için klasik sınav uyarlaması:

A Açısı 90 derece olan BAC dik üçgeninde [BC] kenarı |BC| / 3 = |BD| = |DE| = |CE| olarak üç eşit parçaya ayrılmış olup |AD| = sin(x) ve |AE| = cos(x) ise ∡DAE = f(x) = ?

Çözüm: (Anlatılanlara göre şekli çizip durumu anlamak ilgilenen öğrencilere ödev.)
[BC] çap ve O merkez olmak üzere BAC dik üçgeninin çevrel çemberi çizilir,
|BD| = |CE| = y
|DO| = |EO| = y / 2
|DE| = 2y
Çemberde aynı yayı gören çevre açı, merkez açının yarısı olduğundan ∡AOB = θ ⇒ ∡ACB = θ / 2
∡DAO = ∡EAO = α / 2
ΔADE için Kosinüs Teoremi gereğince y^2 = [ cos(x) ]^2 + [ sin(x) ]^2 - sin(2x)·cos(α)
cos(α) = (1 - y^2)·cosec(2x)....(I)

Not: Sorunun aslındaki şıklara bakıldığında bir test sınavında daha fazla zaman kaybedilmeden B işaretlenip geçilir ve bu seçeneğe göre
y = 1 / √5 birim olması gerekir ki aşağıda ispatlanmıştır.

D ve E noktalarından [AC] kenarına çizilen dikmelerin o kenarı kestiği noktalar sırasıyla F ve G ise
|CG| = |FG| = |AF| = y·cos(θ / 2)
|EG| = y·sin(θ / 2)
|DF| = 2y·sin(θ / 2)
AGE Dik üçgeninde Pisagor Teoremi gereğince [ cos(x) ]^2 = [ 2y·cos(θ / 2) ]^2 + [ y·sin(θ / 2) ]^2....(II)
AFD Dik üçgeninde Pisagor Teoremi gereğince [ sin(x) ]^2 = [ y·cos(θ / 2) ]^2 + [ 2y·sin(θ / 2) ]^2....(III)
(II) ve (III) taraf tarafa toplanıp ilgilenen öğrencilere ödev olmak üzere sadeleştirilirse 1 = y^2·(4·1 + 1)....(IV)
(IV) eşitliğinden y = 1 / √5 birim....(V)
(V) değeri (I) eşitliğine götürülünce cos(α) = (1 - 1 / 5)·cosec(2x) ⇒ α = arccos[ (4 / 5)·cosec(2x) ].

Sorunun Aslı:

https://i.ibb.co/7KdH717/gen.png
Çap Yayınları Trigonometri Konu Anlatımı Soru Bankası
https://z-library.sk/book/5278280/7da830/Çap-yayınları-trigonometri-konu-anlatımı-soru-bankası.html
(Sayfa 187, Soru 15, Yanıtlar: O sayfanın sağ alt köşesinde)