Çözüldü Doğrunun Parabole En Yakın Noktası

Konusu 'Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral' forumundadır ve Honore tarafından 8 Mayıs 2018 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    9.222
    Beğenileri:
    655
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Birinci açıortay doğrusunun y = x^2 + 1 parabolüne en yakın noktasının apsisi kaçtır?

    Çözüm - 1 (Türev):
    Parabolün üzerindeki B(z, t) noktasından y = x yani x - y = 0 doğrusuna olan uzaklık k = |1·z - 1·t| / √(1^2 + 1^2) olup burada
    t = z^2 + 1 konursa k = (1 / √2)(z - z^2 - 1) ve dk / dz = (1 / √2)(1 - 2z) = 0 ⇒ z = 1 / 2 ve t = (1 / 2)^2 + 1 = 5 / 4 olup
    B(1 / 2, 5 / 4) bulunur. Parabolün B noktasındaki normali y = x doğrusuna dik olacağından denklemi y - 5 / 4 = -(x - 1 / 2) ⇒ y = -x + 7 / 4 olur ve normal doğrusu ile y = x birinci açıortayın kesim noktasının apsisi de -x0 + 7 / 4 = x0 denkleminden x0 = 7 / 8 bulunur.
    ---
    Çözüm - 2 (Analitik Geometri):
    Parabolün B noktasındaki teğeti x - y = 0 doğrusuna paralel olduğundan x - y + d = 0....(I) şeklinde yazılıp B noktasından geçtiği için
    z - t + d = 0 ve burada t = z^2 + 1 alınarak z - z^2 - 1 + d = 0 ⇒ z^2 - z + 1 - d = 0 ve teğetlik nedeniyle denklemin diskriminantı sıfır olacağından Δ = 1^2 - 4·1·(1 - d) = 0 ⇒ d = 3 / 4 ile (I) denklemi y = x + 3 / 4 olup teğet ve parabolün kesiştirilmesiyle
    x + 3 / 4 = x^2 + 1 ⇒ x = 1 / 2 = z ve t = (1 / 2)^2 + 1= 5 / 4 yani B(1 / 2, 5 / 4) olduğundan Çözüm - 1'deki gibi normalin denklemiyle devam edildiğinde x = 7 / 8 yine bulunur.
    ---
    Grafik:
    [​IMG]
    https://image.ibb.co/jFzWeS/parabol_do_ru.png

  2. Benzer Konular: Doğrunun Parabole
    Forum Başlık Tarih
    Düzlem ve Uzay Analitik Geometri Doğrunun ve Noktanın Analitiği Dün 12:04
    Ivır Zıvır Sorular - Sohbet (Trivial Questions - Chat) Doğrunun Analitiği 19 Mart 2024
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Kapalı Fonksiyon Türevi - Çember Teğeti - Doğrunun Analitiği - Sheldon Cooper da Yanılabilir 15 Mart 2024
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Doğrunun Eğimi - Türevin Geometrik Anlamı 26 Şubat 2024
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Pisagor Teoremi - Daire Parçası Alanlar Toplamı - Noktanın ve Doğrunun Analitiği - İntegral 21 Şubat 2024

Sayfayı Paylaş