Çözüldü Eğri Ailesinin Dik Yörüngeleri ve Bu Aileyi Belli Bir Açıyla Kesen Eğik Yörüngesi

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/eikyzr11.png
https://www.facebook.com/photo.php?...&set=gm.3215255485207979&type=3&theater&ifg=1

y = C·sinx Eğri Ailesinin Dik Yörüngeleri:
y' = C·cosx....(0)
C = y / sinx
y' = (y / sinx)·cosx = y·cotx
y' = y·cotx....(I) (y = C·sinx Eğri Ailesinin Genel Diferansiyel Denklemi)
(I) eşitliğinde y' yerine -1 / y' yazıldığında dik yörüngelerin denklemi;
-1 / y' = y·cotx
y' = (-tanx) / y
dy / dx = (-tanx) / y
ydy = (-tanx)dx
y^2 / 2 = -ln(secx)
y^2 / 2 = ln(1 / secx)
y^2 / 2 = ln(cosx)
y^2 = 2ln(cosx)
y^2 = ln[ (cosx)^2 ]
y = ∓{ ln[ (cosx)^2 ] }^0,5

Not: Karekök dışına çıkartılamadığına öğrencilerin dikkat etmesi gerekir.

Benzer örnekler:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/omz_di11.png
https://avys.omu.edu.tr/storage/app/public/fatma.hira/71540/6.hafta.pdf (Sayfa 140'daki örnek)
https: // www . youtube . com / watch?v=tyPSDeypnlc
---
30 Derecelik Açıyla Kesen Eğik Yörünge:
Aağıdaki videoda anlatılan örnek çözüm takip edilerek (I) eşitliği kullanılırsa;
https: // www . youtube . com / watch?v=6n_c3LzSsqI

[ y·cotx + tan(30°) ] / [ 1 - (y·cotx)·tan(30°) ] = y' yazılır ama bir çözüm göremediğim gibi bu denklem WolframAlpha tarafından da çözülemiyor. Ya soruyu gönderen hatalı yazmış olabilir ya da çözümü isteyen hoca soruyu çözüm yapılabilirlik bakımından kontrol etmemiş diye düşünüyorum.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(sqrt(3)*y*cot(x)+1)dx=(sqrt(3)-y*cot(x))dy

Veya C sabiti yok edilmeden (0) eşitliği kullanılırsa;
[ C·cosx + tan(30°) ] / [ 1 - (C·cosx)·tan(30°) ] = y'
[ (√3)·C·cosx + 1 ] / (√3 - C·cosx) = dy / dx
{ [ (√3)·C·cosx + 1 ] / (√3 - C·cosx) }dx = dy
∫ { [ (√3)·C·cosx + 1 ] / (√3 - C·cosx) }dx = ∫dy + C1 integralinde sol taraf;
tan(x / 2) = u, cosx = (1 - u^2) / (1 + u^2), dx = 2du / (1 + u^2) değişken dönüşümleriyle ve varsa hem çok zamanı olan hem de ilgilenen öğrencilerce çözülerek WolframAlpha'nın aşağıda verdiği sonuç bulunur:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/eikyzr10.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ { [ (√3)·C·cosx + 1 ] / (√3 - C·cosx) }dx

Aranan eğik yörünge denklemi, sağ taraf y + C1 olarak yazıldıktan sonra y = f(x, C, C1) şeklinde bulunmuş olur ama bu durumda bile çözüm tam bir işkence halini alır.

Bir kitaptan yanlış çözülmüş bir örnek:

https://i.ibb.co/kH819VM/y-r-nge.png
Adi Diferansiyel Denklemler, Yrdc.Doç.Dr. İsmet Yılmaz , 1998
http://library.lol/main/A6A6C067BDE81600883B228AEA965EB9
[Sayfa 45 (pdf dosyada 53)]

Kırmızı okla gösterilen satırda hata var çünkü y + y·y' = y' - 1 eşitliğinden y' türev fonksiyonu;
y + 1 = y' - y·y'
y + 1 = (1 - y)·y'
(y + 1) / (1 - y) = y'
WolframAlpha Kontrolu: (y + y·y' = y' - 1 eşitliğinde y' = p yazılıp)

https://i.ibb.co/ygHY8m8/y-r-nge-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=y+y*p=p-1, p=?

-(y + 1) / (y - 1) = y'
-(y + 1) / (y - 1) = dy / dx
-dx = [ (y - 1) / (y + 1) ]dy
-dx = [ 1 - 2 / (y + 1) ]dy eşitliğinden integral alınarak,
-x + c = y - 2·ln(y + 1)
y - 2·ln(y + 1) = c - x veya y - ln(y + 1)^2 = c - x.