Çözüldü Fonksiyon Tespitinde "Hileli" Değişken Dönüşümü ve Belirsiz Katsayılar Kuralı - Doğrunun Analitiği

Facebook'da dolanırkan gördüğüm ve soruyu video çözümüyle de gönderenin iddiasına göre University of Cambridge'de sorulmuş bir problemin hesap makinesi kullanımının da serbest olduğu fen lisesi düzeyi klasik sınavı için değiştirerek zorlaştırdığım uyarlaması:

f(x) - 2·f(1 / x) = x^3 - (5 / x^2) ise f fonksiyonunun apsisi 2 olan noktasındaki teğetinin eksenlerle arasındaki kapalı alan kaç birim^2'dir?

Fonksiyonun "Hileli" Değişken Dönüşümüyle Bulunuşu:
x = 1 / y ⇒ f(1 / y) - 2·f(y) = 1 / y^3 - 5y^2 ve y = X için f(1 / X) - 2·f(X) = 1 / X^3 - 5X^2....(I)
Problemde verilen fonksiyon x = X....(II) alınınca f(X) - 2·f(1 / X) = X^3 - (5 / X^2)....(III)
(I) denklemi 2 ile çarpılıp 2·f(1 / X) - 4·f(X) = 2 / X^3 - 10X^2....(IV)
(III) ve (IV) taraf tarafa toplandığında -3·f(X) = X^3 - (5 / X^2) + 2 / X^3 - 10X^2 ve -3 ile her terim bölünerek,
f(X) = -X^3 / 3 + [ 5 / (3X^2) ] - 2 / (3X^3) + 10X^2 / 3....(V)
(II)'den ters dönüşümle (V) eşitliği f(x) = -x^3 / 3 + [ 5 / (3x^2) ] - 2 / (3x^3) + 10x^2 / 3....(VI)

Belirsiz Katsayılar Kuralıyla Fonksiyonun Bulunuşu:
Hem Facebook'daki videoda ve yapılan yorumlarda, hem de www.mathful.com yapay zekâsının x = 1 / (küçük x) alarak yaptığı ekteki çözümünde bu tür bir değişken kargaşası ve hilesi (x = 1 / y = X ve y = X) olması nedeniyle saf matematiksel çözüm için problemdeki eşitliğin sağında olan yapıya uygun bir fonksiyonun f(x) = a·x^3 + b / x^3 + c·x^2 + d / x^2....(VII) şeklinde olması gerektiği için,
(sorunun daha kolay olan aslında sağ taraf sadece x^2 olduğu için f(x) = ax^2 + b / x^2 yapısındadır ve o problem de aşağıdaki çözüm dikkate alınarak ilgilenen öğrencilere ödev olmak üzere daha kolay çözülebilir.)

(VII) numaralı fonksiyona göre f(1 / x) = a / x^3 + b·x^3 + c / x^2 + d·x^2
-2·f(1 / x) = -2a / x^3 - 2b·x^3 - 2c / x^2 - 2d·x^2....(VIII)
(VII) ve (VIII) ifadeleri problemde verilen fonksiyondaki yerlerine konulduğunda,
(a·x^3 + b / x^3 + c·x^2 + d / x^2) - (2a / x^3 + 2b·x^3 + 2c / x^2 + 2d·x^2) = x^3 - 5 / x^2
(a - 2b)·x^3 + (b - 2a)·(1 / x^3) + (c - d)·x^2 + (d - 2c)·(1 / x^2) = x^3 - 5 / x^2 eşitliğinde Belirsiz Katsayılar Kuralı ile,
a - 2b = 1, b - 2a = 0, c - 2d = 0, d - 2c = -5 denklemleri çözüldüğünde a = -1 / 3, b = -2 / 3, c = 10 / 3, d = 5 / 3 katsayılarına göre (VII) fonksiyonu f(x) = -x^3 / 3 - 2 / (3x^3) + 10x^2 / 3 + 5 / (3x^2) yani (VI) ile aynı.
Teğetin x = 2 apsisli değme noktasının ordinatı: f(2) = 11
f '(x) = (-3x^6 + 20x^5 - 10x + 6) / (3x^4)
Teğetin Eğimi: f '(2) = -(-3·2^6 + 20·2^5 - 10·2 + 6) / (3·2^4) = 217 / 24
Teğetin Denklemi: y - 11 = (217 / 24)(x - 2)
Teğetin x eksenini kestiği nokta: 0 - 11 = (217 / 24)(x - 2) ⇒ x = 170 / 217
Teğetin y eksenini kestiği nokta: y - 11 = (217 / 24)(0 - 2) ⇒ y = -85 / 12
Teğetin eksenlerle arasında kalan dik üçgenin alanı: (170 / 217)|-85 / 12| / 2 = 7225 / 2604 ≈ 2,8 birim^2.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/fonksi67.png