Çözüldü Fonksiyonlarda Öteleme ve Kaydırma - Orijine Göre Simetrik Kübik Fonksiyon

Johns Hopkins University'den çözümlü bir örneğin biraz zorlaştırılmış klasik sınav uyarlaması:
Üçüncü derece ve tek (odd) olan bir y = f(x) fonksiyonu (1, 2) ve (-1, -2) noktalarından geçerek x eksenini de hem orijinde hem de ∓2 noktalarında kesiyorsa denklemini bulunuz ve buna bağlı olarak y = f(x - 1) + 1 fonksiyonuyla beraber çiziniz.

Tek fonksiyonlarda f(-x) = -f(x) ve orijine göre de simetri nedeniyle bu fonksiyonun x eksenini ∓2 noktalarında kesme özelliğiyle
f(x) = ax(x^2 - 4) şeklinde olacağından f(1) = 2 = a(1 - 4) ⇒ a = -2 / 3 ve f(-1) = -2 = -a(1 - 4) ⇒ a = -2 / 3 olup f(x) = (-2x / 3)(x^2 - 4) denklemi bulunur. y = f(x - 1) + 1 fonksiyonu y = f(x) fonksiyonunun sağa (x ekseninin pozitif yönünde) 1 birim ve yukarıya doğru da 1 birim kaydırılmasıyla oluşacağı için;

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/jhu_cu10.png


https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/jhu_cu11.png

http://www.math.jhu.edu/~vlorman/105f13/midterm1solutions.pdf
(Sayfa 3, Soru 2)

Not: Kesikli kırmızı grafik f(x) fonksiyonudur.

Piyasadan bir örnek (orijine göre simetri yok):


https://i.ibb.co/bJcQSd3/k-bik-fonksiyonlar-soru.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=249534922674948&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Problemde verilen denklemin sağ tarafına göre f(x) fonksiyonu x ekseninin pozitif yönünde 1 birim, y ekseninin negatif yönünde ise 4 birim kaydırılacağından mevcut noktaların yeni koordinatları aşağıdaki gibi olur:
(-5, 0) ----> B(-4, -4)
(-3, 1) ----> C(-2, -3)
(0, 0) -----> D(0, -4)
(3, -2) ----> F(4, -6)
(5, 0) -----> G(6, -4)

f(x - 1) - 4 fonksiyonu B, C, D, E, F, G noktalarından geçecek şekilde grafiğe eklenirse f(x) ile hiçbir noktada keşişemeyeceğinden dolayı ortak denklemi sağlayan hiçbir nokta bulunmadığı görülür.
Doğru yanıt E yani 0 olmalıdır.

Not:
f(x) fonksiyonu x eksenini 3 noktada kestiği için üçüncü dereceden f(x) = ax^3 + bx^2 + cx (kübik) bir polinomdur ama grafikteki nokta sayısı 3'ten fazla olduğu için a, b, c katsayılarından fazla sayıda (4 adet) denklem kurulacağı için f(x) ancak "yaklaşık olarak" ve "En Küçük Kareler Yöntemi" (Least Squares Method) gibi bir istatiksel regresyon analiziyle tahminlenebilir.

f(x) için WolframAlpha'nın yaklaşık Çözümü: f(x) ≈ 0,03125·x^3 + 0,00944171·x^2 - 0,78125·x - 0,328407....(I)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=cubic function passing through (-5,0), (-3,1), (0,0),(3,-2),(5,0)

f(x - 1) - 4 ≈ 0,03125(x - 1)^3 + 0,00944171(x - 1)^2 - 0,78125(x - 1) - 0,328407 - 4....(II)

(I) ve (II) denklemlerinin eşitliği ile kurulan ortak denklemin hiçbir gerçel kökünün olmadığı da yine WolframAlpha'nın aşağıdaki çözümüyle gösterilebilir:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.03125x^3 + 0.00944171x^2 - 0.78125x - 0.328407 = 0.03125(x-1)^3 + 0.00944171(x-1)^2 - 0.78125(x-1) - 0.328407-4

Grafik:

https://i.ibb.co/G96nvt9/k-bik-fonksiyonlar.png