Çözüldü İki Çember Arasındaki Alan - Çemberin Analitiği - İntegral

Konusu 'Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı' forumundadır ve Honore tarafından 2 Mayıs 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.550
    Beğenileri:
    561
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/sFrSGRh/emberler-Aras-Alan-Soru.png
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=ef48eaaddb2221fd2c751f7ef0eb50e2&oe=5D33DCD9
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=135816057536738&set=g.1174585619345646&type=1&theater&ifg=1

    Geometrik Çözüm:
    Çemberler, kuvvet ekseni de çizilerek tamamlanırsa (bu işlem ilgilenen öğrencilere ödev) kesişim bölgesinin kuvvet ekseni tarafından birbirine eşit dört parçaya ayrıldığı, taralı bölgenin simetri nedeniyle bu dört parçanın yarısına, bunun da bir daire parçası alanına eşit olduğu görülür.

    Kuvvet ekseninin çemberlerin merkezlerine uzaklıkları r / 2 cm ve kuvvet ekseninin çemberleri kestiği ortak iki noktayla merkezler tarafından meydana gelen üçgenlerde merkez açı 120° olur [ çünkü bu üçgenlerin yarısı olan dik üçgenlerde merkez açının yarısının kosinüsü (r / 2) / r = 1 / 2 nedeniyle 60°'dir ].

    Aranan Daire Parçası Alanı: π(r^2)(120°) / 360° - (1 / 2)(r^2)sin(120°) = (r^2)[ π / 3 - (√3) / 4 ] = (r^2)(4π - 3√3) / 12 olup bu değer problemde verilen sayıya eşitlenirse;
    (r^2)(4π - 3√3) / 12 = 12π - 9√3
    (r^2)(4π - 3√3) / 12 = 3(4π - 3√3)
    (r^2) / 12 = 3
    r^2 = 36
    r = √36
    r = 6 cm = |AD|
    ---
    İntegral Çözümü:
    D noktası orijin, [AD] ve [BD] sırasıyla y ve x ekseneleri üzerinde alınırlarsa r yarıçaplı çemberlerin denklemleri:
    Dörtte bir daireyi oluşturan çemberin merkezi D noktası, yani orijin, olduğundan: x^2 + y^2 = r^2....(I) ⇒ y = f(x) = (r^2 - x^2)^0,5....(II)
    A(0, r) merkezli çemberin denklemi x^2 + (y - r)^2 = r^2....(III) ⇒ y = g(x) = r - (r^2 - x^2)^0,5....(IV)
    C noktasının koordinatlarının bulunması için (I) ve (III) taraf tarafa çıkarılarak çemberler kesiştirilirse;
    y^2 - (y - r)^2 = 0 ⇒ ( y + y - r)(y - y + r) = 0 ⇒ y = r / 2 ve bu değer (I) eşitliğindeki yerine konarak; x^2 + r^2 / 4 = r^2 ⇒ x = r(√3) / 2 olup
    C[ r(√3) / 2, r / 2 ] olur.
    Aranan Alan = [ alt sınır = 0, üst sınır = r(√3) / 2 ] olmak üzere ∫ [ f(x) - g(x) ] dx integralinde (II) ve (IV) eşitlikleri kullanılıp;
    Aranan Alan = [ alt sınır = 0, üst sınır = r(√3) / 2 ] olmak üzere ∫ { [ 2(r^2 - x^2)^0,5 ] - r } dx olur.
    Kareköklü integralin x = r·sinθ veya x = r·cosθ gibi bir trigonometrik dönüşümle yapılması ve sonucun aşağıdaki gibi olduğunun doğrulanması ilgilenen öğrencilere ödev.

    WolframAlpha Kontrolu:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/StvMrRX/emberler-Aras-Alan-ntegral-WA.png
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate (2sqrt(r^2-x^2)-r)dx from x=0 to r*sqrt(3)/2

    WolframAlpha'nın sonucu biraz düzenlenirse;
    [ (r^2) / 12 ](3√3 + 4π - 6√3) = [ (r^2) / 12 ](4π - 6√3) olup bu değer problemde 12π - 9√3 cm^2'ye eşit verildiğinden;
    [ (r^2) / 12 ](4π - 6√3) = 3(4π - 3√3)
    (r^2) / 12 = 3
    r^2 = 36
    r = √36
    r = 6 cm = |AD|

  2. Benzer Konular: Çember Arasındaki
    Forum Başlık Tarih
    Matematik - Geometri Üçgende Çevrel Çember ve İç Teğet Çember Merkezleri Arasındaki Uzaklık 8 Ekim 2018
    Diğer Kare İçinde Çemberler Arasındaki Alan - İntegral Uygulaması 14 Mart 2018
    Matematik - Geometri Birim Çemberde Trigonometri ve Thales Teoremi Çarşamba 23:16
    Matematik - Geometri Çember - Üçgen - Trigonometri 24 Mayıs 2020
    Matematik - Geometri Birim Çember - Trigonometri 22 Mayıs 2020

Sayfayı Paylaş