Çözüldü İki Populasyon Ortalamasının Farkı İçin Küçük Örnek Testi - Programlama

Bir kuş populasyonunda erkeklerle dişilerin vücut ağırlıklarının ayni olup olmadığını kontrol için 10 erkek kuş ile 9 dişi kuş rastgele seçilip vücut ağırlıkları (gram) ölçülerek veriler aşağıda gösterilmiştir:

Kod:

                     Örnek Büyüklüğü         Ortalama          Varyans
                     ---------------         --------          -------
Erkek Kuşlar              10                  90.80             55.2
Dişi Kuşlar                9                  81.52             66.2

Bu örneğin, belirtilen popülasyondan rastgele çekilmiş olup olmadığını 0.05 yanılma olasılığıyla test ediniz.

Not: Referans verilen iki kitapla uyum için ondalık işareti olarak "nokta" kullanıldı.
İki örnekten ayrı ayrı hesaplanan varyanslar gerçekte erkek ve diş kuş populasyonlarına ilişkin varyansların eşitliğinin gerçekte birbirinden bağımsız iki tahmini olduğu için birleştirilerek (σ1)^2 = (σ2)^2 = σ^2 varyansının ortak bir tahmini bulunur:
s^2 = [ (n1 - 1)·(s1)^2 + (n2 - 1)·(s2)^2 ] / (n1 + n2 - 2)
s^2 = [ (10 - 1)·55.2 + (9 - 1)·66.2 ] / (10 + 9 - 2)
s^2 = 60.38
Kuşların ortalama vücut ağırlıkları için kurulan hipotezler;
H0 : µ1 - µ2 = 0
H1 : µ1 - µ2 ≠ 0
Standart Hata = [ s^2·(1 / n1 + 1 / n2) ]^0.5 = [ 60.38·(1 / 10 + 1 / 9) ]^0.5 = √12.747 ≈ 3.57
Test İstatistiği: t = (x1 - x2 - 0) / Standart Hata = (90.80 - 81.52 - 0) / 3.57 ≈ 2.60
H1 nedeniyle iki yönlü test yapıldığı için 0.05 / 2 = 0.025 olduğundan 10 + 9 - 2 = 17 serbestlik derecesi ile
https://www.stat.purdue.edu/~lfindsen/stat503/t-Dist.pdf adresindeki tablodan bakılan kritik değer 2.110 ve örnekten gidilerek hesaplanan 2.60 > 2.110 olduğundan red bölgesine düşülerek H0 sıfır hipotezi reddedilir ve iki cinsiyetin arasında vücut ağırlıkları bakımından istatistiksel açıdan anlamlı bir fark vardır.

"İstatistiğe Giriş", Doç.Dr. Halis Püskülcü, Doç.Dr. Fikret İkiz, Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi
Bilgisayar Bilimleri Mühendisliği Bölümü, 1986, Sayfa 175 - 179'daki örnek

Fortran Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/kuslar10.png

Program:

Kod:

! "Basic Programlama ve İstatistiksel Yöntemler", Dr. Osman Saraçbaşı, Dr. Ergun Karaağaoğlu, Dr. Osman Saka
! Hacettepe Üniversitesi, TIP Fakültesi, Biyoistatistik Bilim Dalı Öğretim Görevlileri" tarafından yazlmış Eylül 1986
! tarihli kitabın 201 - 203 no.lu sayfalarında gösterilen Basic dilindeki programın GOTO ve GOSUB deyimleri kaldırılıp
! olabildiğince yapısallaştırıldıktan sonra gerekli açıklamaları da verilerek yazılmış Fortran versiyonu
!
! İki Populasyon Ortalamasının Farkı İçin Küçük Örnek Testi
!
! Bir kuş populasyonunda erkeklerle dişilerin vücut ağırlıklarının ayni olup olmadığını kontrol için 10 erkek kuş ile
! 9 dişi kuş rastgele seçilip vücut ağırlıkları (gram) ölçülerek veriler aşağıda gösterilmiştir:
!
!                     Örnek Büyüklüğü         Ortalama          Varyans
!                     ---------------         --------          -------
! Erkek Kuşlar              10                  90.80             55.2
! Dişi Kuşlar                9                  81.52             66.2
!
! Bu örneğin, belirtilen popülasyondan rastgele çekilmiş olup olmadığını 0.05 yanılma olasılığıyla test ediniz.
!
! "İstatistiğe Giriş", Doç.Dr. Halis Püskülcü, Doç.Dr. Fikret İkiz, Ege Üniversitesi Mühendislik Fakültesi
! Bilgisayar Bilimleri Mühendisliği Bölümü, 1986, Sayfa 175 - 179'daki örnek
!

program t_dagilimi
implicit none

integer         :: n1 = 10, n2 = 9            ! Örnek Sayıları
integer         :: SD, k                      ! Serbestlik Derecesi ve yardımcı değişken
real(kind = 8)  :: x1 = 90.8, S1_kare = 55.2  ! Erkek kuşların ağırlık ortalaması ve varyansı
real(kind = 8)  :: x2 = 81.53, S2_kare = 66.2 ! Dişi kuşların ağırlık ortalaması ve varyansı
real(kind = 8)  :: H1, H2, TI, SH             ! H! ve H2 yardımcı değişkenler, TI: Test İstatistiği, SH: Standart Hata
real(kind = 8)  :: t0                         ! ABS(TI) (Test istatistiğinin mutlak değeri)
real(kind = 8)  :: tD                         ! t Dağılımı fonksiyonuyla hesaplanan değer
real(kind = 8)  :: p                          ! Hesaplanan olasılık
real, parameter :: t_Tablo = 2.110            ! α = 0.05 ve 10 + 9 - 2 = 17 Serbestlik Derecesi için t tablo değeri

SD = n1 + n2 - 2
H1 = S1_kare / n1; H2 = S2_kare / n2; SH = SQRT(H1 + H2)
TI = (x1 - x2) / SH; t0 = ABS(TI); k = SD
p = tD(t0, k)

write(6, 10)"Serbestlik Derecesi: ",SD
write(6, 20)"Hesaplanan Test Istatistigi = ", TI
write(6, 20)"Ornegin Standart Hatasi (TL) = ", SH
write(6, 20)"P Olasiligi (Tek Yonlu) = ", 1 - p
write(6, 20)"P Olasiligi (Iki Yonlu) = ", 2*(1 - p )

if (t0 > t_Tablo) then
   write(6, 25)"H0 hipotezi reddedilir cunku iki kus cinsiyetinin &
&arasinda vucut agirliklari    bakimindan fark vardir"
   write(6, 25)"Secilen ornekler, populasyonu temsil etmiyor."
else
   write(6, 25)"H0 hipotezi reddedilemez çünkü iki kuş cinsiyetinin &
& arasinda vücut ağırlıkları bakimindan fark yoktur ve populasyon &
& ortalamalari arasindaki farklilik istatistiksel yonden anlamli degil."
endif

10 format(/,3x,a, i2,/)
20 format(3x,a,f11.6,/)
25 format(/,3x,a)

end
!
real(kind = 8) function tD(t0, k)
implicit none
integer, intent(in)        :: k
real(kind = 8), intent(in) :: t0
real(kind = 8)             :: a1 = 0.36338023 ! Kitaptaki programda verilen ve sebebi yazılmamış olan sabit değer
real(kind = 8)             :: w, s, c, t1, t, p
integer                    :: w1, j1, j2, k2, i

w = ATAN(t0 / SQRT(REAL(k))); s = SIN(w); c = cos(w); w1 = k - 2*INT(k / 2)

if (w1 == 0) then
   t1 = s

   if (k == 2) then
      p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
   else 
      t = s; j1 = -1; j2 = 0; k2 = (k - 2) / 2
      do i = 1, k2
         j1 = j1 + 2; j2 = j2 + 2
         t = t*c**2*REAL(j1) / j2; t1 = t1 + t
      enddo
      t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
   endif

else
   t1 = w

   if (k == 1) then
      t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
   else
      t = s*c; t1 = t1 + t
      if (k == 3) then
         t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
      else
         j1 = 0; j2 = 1; k2 = (k - 3) / 2
         do i = 1, k2
            j1 = j1 + 2; j2 = j2 + 2
            t = t*c**2*REAL(j1) / j2; t1 = t1 + t
         enddo
         t1 = t1*(1 - a1*w1); p = 0.5*(1 + t1); tD = p; return
      endif
   endif

endif

end function