Soru İntegralde Trigonometrik Değişken Dönüşümleri - Hiperbolik Fonksiyonlar (2 Soru)

https://i.ibb.co/kX3LbwP/integral-2soru.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10159141737185606&set=gm.2012027978934735&type=3&theater&ifg=1
[ Facebook adresindeki resimde birinci integralde + işaretinin solundaki dik çizgi, ekran resmi alındığında orada olduğu için yanıp sönen imleç (cursor) ]
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

∫ [ (z^2 - 1) / (z^2 + 1) ]·[ 1 / √ (1 + z^4) ] dz = ?

Bu haliyle bence hatalı çünkü eliptik integral oluşuyor.

https://i.ibb.co/TLYGzSL/Elliptic-Integral.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ [ (z^2 - 1) / (z^2 + 1) ]·[ 1 / √ (1 + z^4) ] dz = ?

Karekök içindeki terimin de z^2 olması halinde;
∫ [ (z^2 - 1) / (z^2 + 1) ]·[ dz / √ (1 + z^2) ] integrali için z = tanθ....(I) ⇒ dz = [ 1 + (tanθ)^2 ]dθ = [ (secθ)^2 ]dθ
∫ { [ (tanθ)^2 - 1 ] / [ (tanθ)^2 + 1 ] }·[ 1 + (tanθ)^2 ]dθ / secθ =
∫ [ (tanθ)^2 - 1 ]·(cosθ)dθ =
∫ [ (sinθ)^2 ] dθ / cosθ - ∫(cosθ)dθ =
∫ [ 1 - (cosθ)^2 ]dθ / cosθ - ∫(cosθ)dθ =
∫ secθdθ - 2∫(cosθ)dθ =
ln[ tan(θ) + sec(θ) ] - 2sinθ + C....(II)
(I) dönüşümünden sec(θ) = √ (1 + z^2) ] ve sin(θ) = z / √ (1 + z^2) olduğundan (II) sonucu z değişkenine göre;
ln[ z + √ (1 + z^2) ] - 2z / √ (1 + z^2) + C veya soldaki birinci terim için WolframAlpha'nın ters hiperbolik sinüs fonksiyonuyla verdiği ilk sonuçtaki gibi; arcsinh(z) - 2z / √(1 + z^2) + C

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ [ (z^2 - 1) / (z^2 + 1) ]·[ 1 / √ (1 + z^2) ] dz = ?
---
∫ dt / [ (t^2 + 1)·√(t^2 - 1) ] integrali t = secθ....(III) ⇒ dt = (secθ)(tanθ)dθ değişken dönüşümüyle;
∫ (secθ)·(tanθ)dθ / { [ (secθ)^2 + 1 ]·tanθ } =
∫ (secθ)dθ / [ (secθ)^2 + 1 ] =
∫ (cosθ)dθ / [ 1 + (cosθ)^2 ] =
∫ (cosθ)dθ / [ 2 - (sinθ)^2 ] integrali sinθ = k....(IV) ⇒ cosθdθ = dk değişken dönüşümüyle;
∫dk / (2 - k^2) integralindeki integrand basit rasyonel kesirlere ayrılırsa (bu ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev);
(1 / √8)·∫[ 1 / (√2 - k) + 1 / (√2 + k) ]dk =
(1 / √8)·[ -ln(√2 - k) + ln(√2 + k) ] + C =
(1 / √8)·ln[ (√2 + k) / (√2 - k) ] + C ve (IV) eşitliğinden θ değişkenine geri dönülüp;
(1 / √8)·ln[ (√2 + sinθ) / (√2 - sinθ) ] + C =
(1 / √8)·ln{ [ 1 + (sinθ) / √2 ] / [ 1 - (sinθ) / √2 ] } + C....(V)
artanh(x) = (1 / 2)·ln[ (1 + x) / (1 - x) ] olduğundan x = (sinθ) / √2 olduğu görülüp;
(1 / √8)·2artanh[ (sinθ) / √2 ] + C =
(1 / √2)·artanh[ (sinθ) / √2 ] + C ve (III) eşitliğine göre sinθ = [ √(t^2 - 1) ] / t olduğundan;
(1 / √2)·artanh{ [ √(t^2 - 1) ] / (t√2) } + C....(VI) bulunur.

WolframAlpha (WA) nedense verdiği ilk sonuçta hiperbolik tanjant fonksiyonunun argümanını ters gösteriyor çünkü (VI) sonucunun türevi alınırsa integrali aranan ifade oluştuğundan sonuç doğrudur.

https://i.ibb.co/W22qgrP/hiperbolik-tanjant-t-revi.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(d/dt)( (1 / √2)·artanh{ [ √(t^2 - 1) ] / (t√2) } )

WolframAlpha'nın ilk gösterdiği ters sonuç:

https://i.ibb.co/DtqDRt6/integral-WA.png
https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫ dt / [ (t^2 + 1)·√(t^2 - 1) ]

Not:
Yine de WA "Alternate form of the integral:" bölümündeki gibi aşağıda (VII) olarak ayrıca yazılabilen neticeyi de göstermektedir.
(1 / √8)·ln{ [ (√2)t + √(t^2 - 1) ] / [ (√2)t - √(t^2 - 1) ] } + C =
(1 / √8)·ln( { √2 + [ √(t^2 - 1) ] / t } / { √2 - [ √(t^2 - 1) ] / t } ) + C =
(1 / √8)·ln( { 1 + [ √(t^2 - 1) ] / (t√2) } / { 1 - [ √(t^2 - 1) ] / (t√2) } ) + C....(VII)
artanh(x) = (1 / 2)·ln[ (1 + x) / (1 - x) ] olduğundan x = [ √(t^2 - 1) ] / (t√2) olduğu görülüp;
(1 / √8)·2artanh{ [ √(t^2 - 1) ] / (t√2) } + C =
(1 / √2)·artanh{ [ √(t^2 - 1) ] / (t√2) } + C