Çözüldü Lagrange's Variation of Parameters Method Using Wronskian Determinant

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 25 Haziran 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.550
    Beğenileri:
    561
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    A solved problem from a book published by Princeton University:
    Find the general solution by the method of variation of parameters. Decide whether the method of undetermined coefficients could also have been used.
    x'' + 3x'+ 2x = 1 / [ 1 + e^(2t) ]

    https://www.academia.edu/29983506/INTRODUCTION_TO_DIFFERENTIAL_EQUATIONS
    (Page 192, Problem 7)

    Solution:
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/zSw8S7G/Princeton-Lagrange-Wronskian.png
    https://assets.press.princeton.edu/releases/m8699_sol.pdf
    [ Page 71, (77 in the pdf file) ]
    ---
    Wronksian Determinantı Kullanılmadan Çözüm:
    Karakteristik (auxiliary) denklem: r^2 + 3r + 2 = 0 ⇒ r1 = -2, r2 = -1
    C1, C2 ∈ R olmak üzere Homojen Çözüm: xh(t) = C1·[ e^(-2t) ] + C2·[ e^(-t) ]....(I) olup buradan türevler alınırsa;
    xh'(t) = (C1')·[ e^(-2t) ] + (C1)·[ -2e^(-2t) ] + (C2')·[ e^(-t) ] + (C2)·[ -e^(-t) ] ve (C1')·[ e^(-2t) ] + (C2')·[ e^(-t) ] = 0....(II) şartıyla;
    xh'(t) = (-2C1)·[ e^(-2t) ] - (C2)·[ e^(-t) ]....(III)
    (III)'ten tekrar türev alınıp;
    xh''(t) = (-2C1')·[ e^(-2t) ] + (4C1)·[ e^(-2t) ] - (C2')·[ e^(-t) ] + (C2)·[ e^(-t) ]....(IV)
    (I), (III), (IV) denklemdeki yerlerine yazılarak sadeleştirilirse (bu kısım ilgilenen öğrencilere ödev);
    -2(C1')·[ e^(-2t) ] - (C2')·[ e^(-t) ] = 1 / [ 1 + e^(2t) ]....(V)
    (II) ve (V) iki bilinmeyenli denklem sistemi çözülürse (taraf tarafa toplanıp C1' yalnız bırakılırsa);
    C1' = [ -e^(2t) ] / [ 1 + e^(2t) ]....(VI) ⇒ C1 = -∫ [ e^(2t) ]dt / [ 1 + e^(2t) ] integrali u = 1 + e^(2t) değişken dönüşümüyle çözülerek (ilgilenen öğrencilere ödev);
    K1, K2 ∈ R olmak üzere C1 = -(1 / 2)·ln[ e^(2t) + 1 ] + K1....(VII)
    (VI) değeri kullanılarak (II) veya (V) denklemlerinden C2' = 1 / { (e^t)·[ e^(2t) + 1 ] } = e^(-t) - { (e^t) / [ e^(2t) + 1 ] } şeklinde kısmi rasyonel kesirlere ayırılıp ikinci tyerim için u = e^t değişken dönüşümü yapılarak integral alınırsa (bu ara işlemler de ödev);
    C2 = -e^(-t) - arctan(e^t) + K2....(VIII)
    (VII) ve (VIII) eşitlikleri (I)'e taşınarak tam genel çözüm;
    x(t) = { -(1 / 2)·ln[ e^(2t) + 1 ] + K1 }·[ e^(-2t) ] + [ -e^(-t) - arctan(e^t) + K2 ]·[ e^(-t) ] ve açılarak;
    x(t) = -(1 / 2)·[ e^(-2t) ]·ln[ e^(2t) + 1 ] + K1·[ e^(-2t) ] - e^(-2t) - [ e^(-t) ]·arctan(e^t) + K2·[ e^(-t) ] çarpanlara ayrılıp gruplanarak;
    x(t) = -(1 / 2)·[ e^(-2t) ]·ln[ e^(2t) + 1 ] - [ e^(-t) ]·arctan(e^t) + (K1 - 1)·[ e^(-2t) ] + K2·[ e^(-t) ] ve son olarak,
    K1 - 1 = C1 ve K2 = C2 yazılıp standart katsayılara dönülürse;
    x(t) = -(1 / 2)·[ e^(-2t) ]·ln[ e^(2t) + 1 ] - [ e^(-t) ]·arctan(e^t) + C1·[ e^(-2t) ] + C2·[ e^(-t) ] bulunur.

    Not: Sonuç Orijinal çözümle karşılaştırılırsa en sondaki C1 ve C2 katsayılarının yerlerinin farklı oluşu önemli olmayıp yalnızca (I) denklemi teşkil edilirken yerlerinin belirlenmesiyle ilgilidir.

  2. Benzer Konular: Lagrange's Variation
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Lagrange Sabitin Değişimi (Variation of Parameters) Yöntemi 22 Nisan 2017

Sayfayı Paylaş