Soru Laplace Dönüşümü (4 Soru, İkisi bilgisayarsız yapılamadı)

Soru - 1
ℒ{ dx / dt + 5x^2 } = ℒ{ 25 }
s·x(s) - x(0) + 5·[ 2 / (s^3) ] = 25 / s
s·x(s) - 3 = 25 / s - 10 / (s^3)
x(s) = 3 / s + 25 / (s^2) - 10 / (s^4)
ℒ^(-1) { x(s) } = ℒ^(-1) { 3 / s + 25 / (s^2) - 10 / (s^4) }
x(t) = 3 + 25t - 10[ t^(4 - 1) / (4 - 1)! ]
x(t) = 3 + 25t - 5(t^3) / 3

Not: ℒ^(-1) { 1 / s^(n + 1) } = (t^n) / (n!)
---
Soru - 2
Yukarıdaki gibi çözülecek.
---
Soru - 3
Bu soru için Laplace Dönüşümüyle bir çözüm göremiyorum. WolframAlpha da yapamadı.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=laplace transform (x*x'-5x=25),x(0)=4

Yine de aslında soru basit tipte değişkenlerine ayrılabilir bir diferansiyel denklem ve klasik çözümü de şöyle;
x(dx / dt) - 5x = 25
dx / dt = (5x + 25) / x
xdx / (x + 5) = 5dt
[ 1 - 5 / (x + 5) ]dx = 5dt
∫ [ 1 - 5 / (x + 5) ]dx = ∫ 5dt + c
x(t) - 5·ln[ x(t) + 5 ] = 5t + c....(I) ve x(0) = 4 başlangıç şartına göre;
4 - 5·ln(4 + 5) = 5·0 + c
c = 4 - ln(3^10)....(II)
(II) değerine göre (I) genel çözümünden özel çözüm;
x(t) - 5·ln[ x(t) + 5 ] = 5t + 4 - ln(3^10)
---
Soru - 4
ℒ{ x'+ 2[ e^(-4t) ]·x } = ℒ{ 0 }
s·x(s) + 2x(s + 4) = 0
x(s) + (2 / s)·x(s + 4) = 0
x(s) = -(2 / s)·x(s + 4)
ℒ^(-1) { x(s) } = ℒ^(-1) { -(2 / s)·x(s + 4) } ve bundan sonrası ancak WolframAlpha ile;
x(t) = c·e^{ (1 / 2)·[ e^(-4t) ] }....(1) ve x(0) = 5 başlangıç şartına göre;
5 = c·e^[ (1 / 2)·1 ]
5 = c·√e
25 = c·e
c = 25 / e....(2)
(2) değerine göre (1) denklemi x(t) = (25 / e)·e^{ (1 / 2)·[ e^(-4t) ] }

https://www.wolframalpha.com/input/?i=laplace transform (x'+(2e^(-4t))x=0)