Çözüldü Limitte Değişken Dönüşümü - Üstel ve Köklü İfadeler

Bilkent Üniversitesi Matematik Bölümü öğretim üyelerinden sayın Dr. Okan Tekman Hocamız'ın arşivindeki Güz 2024 Dönemi 1. Ara Sınav çözümlü sorularından birinin AYT için biraz değiştirilmiş uyarlaması:

lim [ x → 0^(+) ] [ (x^0,5 - x)^(1 / 2) - x^0,25 ] / x^0,75 = ?

A) -1
B) -1 / 2
C) 0
D) 1 / 2
E) 1

Sağdan limit yaklaşımına da gerek bırakmayan x = u^4 dönüşümüyle limitin yeni durumu;
lim (u → 0) [ (u^2 - u^4)^0,5 - u ] / u^3 =
lim (u → 0) [ (1 - u^2)^0,5 - 1 ] / u^2 =
lim (u → 0) (1 - u^2 - 1) / { u^2·[ (1 - u^2)^0,5 + 1 ] } =
-1 / [ (1 - 0^2)^0,5 + 1 ] =
-1 / (1 + 1) =
-1 / 2.

WolframAlpha Kontrolu:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/okante12.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=lim [ (x^0.5 - x)^(1 / 2) - x^0.25 ] / x^0.75 as x goes to 0 from right

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/okante11.png

Not: Sayın hocamız her yıl aynı dosya ismini ve aynı bağlantıyı (link) kullandığından soruların kalıcı linkleri verilememektedir. İlgilenen öğrencilerin bu nedenle http://www.fen.bilkent.edu.tr/~otekman/calc1/ ve http://www.fen.bilkent.edu.tr/~otekman/calc2/ adreslerinde her senenin farklı sınav sorularının çözümlerini mutlaka incelemeleri önemle tavsiye edilir.