Soru Mutlak Değer - Türev (Farklı bir seçeneğin doğru olduğunu düşünüyorum)

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mutlak17.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=517095129230203&set=gm.1856624614475073&type=3&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Resimde B işaretlenmiş ama sadece A seçeneğinin yani (I) önermesinin doğru olduğunu düşünüyorum çünkü;

f(x) = ax^2 + bx + c parabol fonksiyonuna göre |f(|x|)| = | a|x^2| + b|x| + c | eğrisi 3 farklı gerçel apsisli noktada türevsiz ise f(x) fonksiyonunun x eksenini mutlaka 2 noktada kesmesi gerekir ve y eksenini de zaten mutlaka 1 noktada kesecektir.
Bunun için ise ∆ = b^2 - 4·a·c > 0 olacağından a ve c katsayılarının işaretlerinin mutlaka farklı olması şarttır.
Dolayısıyla (I) doğru ama (III) önermesi yanlıştır.

(II). öncülün doğruluğu durumunda ise a ve b'nin farklı işarette olması gerekir ama aşağıdaki grafiklerden de görüleceği gibi işaret değişmelerinde fonksiyonlar çakışmaktadır ve b < 0 durumunda da |f(|x|)| fonksiyonu tepe noktasında dahi türevlidir.
Örneğin |f(|x|)| = |-3|x^2| - 4|x| + 5| fonksiyonunun x = -2 / 3 apsisli tepe noktasındak türevi 8'dir.

WolframAlpha Kontrolu:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)=abs(-3abs(x^2)-4abs(x)+5), f'(-2/3)=?

Sonuç olarak; f(x) parabolünün x eksenini 2 noktada kesebilmesi için b'nin işareti önemli değildir çünkü diskriminant içinde zaten karesi alınmaktadır ve bu nedenle de (II) önermesi her zaman doğru değildir ve bence doğru cevap A şıkkı olan yalnız (I)'dir.

Çözümdeki hatayı veya B şıkkının doğruluğunu göstermek isteyen hayırseverlere şimdiden çok teşekkürler.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mutlak19.png