Çözüldü Noktanın, Doğrunun, Çemberin Analitiği-Tam Kare Yapılar-2. Derece Denklem-Türev

x^2 + y^2 - 2x + 4y - p = 0 çemberinin 3x - 4y - 6 = 0 doğrusuna teğet olabilmesini sağlayan p kaçtır?
http://katalog.teknokutuphane.com/bookcase/pqeht
(Üstten ikinci sırada mavi kapaklı TYTY - AYT Geometri kitabının son sorusu, yanıtlar o sayfanın altında)

Çözüm - 1:
4y = 3x - 6 ⇒ y = (3x - 6) / 4 eşitliği çember denklemindeki yerine yazılıp düzenlenirse 25x^2 - 20x + 16p - 60 = 0 denkleminde yarım diskriminant (-20 / 2)^2 - 25·(16p - 60) = 0 ⇒ p = 4.

Çözüm - 2:
Çember denklemi merkez koordinatlarıyla yarıçapa göre standart formda yazılırsa (x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 - 4y + 4 - 4) + p = 0
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5 - p ve Merkez M(1, -2) noktasının 3x - 4y - 6 = 0 doğrusuna uzaklığı,
|3·1 - 4·(-2) - 6| / (3^2 + 4^2)^0,5 = (5 - p)^0,5
5 / 5 = (5 - p)^0,5
1 = (5 - p)^0,5
1 = 5 - p
p = 5 - 1
p = 4.

Çözüm - 3:
Teğetin Çembere Değme Noktası: T(a, b)
2x + 2y·y' - 2 + 4y' = 0 ⇒ y' = (1 - x) / (y + 2) ve teğetin eğimi m = (1 - a) / (b + 2)....(I)
Teğet denklemi 4y = 3x - 6 ⇒ y = 3x / 4 - 3 / 2 ⇒ m = 3 / 4....(II)
(II) değeri (I)'de sol taraftaki yerine yazılınca 3 / 4 = (1 - a) / (b + 2) ⇒ 4a + 3b = -2....(III)
T(a, b) noktası teğet üzerinde üzerinde olduğundan 3a - 4b = 6....(IV)
(III) ve (IV) denklemleri ilgilenen öğrencilere ödev olarak çözülüp a = 2 / 5 ve b = -6 / 5
M(1, -2) ve T(2 / 5, -6 / 5) noktalarına göre |MT| = (5 - p)^0,5
[ (2 / 5 - 1)^2 + (-6 / 5 + 2)^2 ]^0,5 = (5 - p)^0,5
(-3 / 5)^2 + (4 / 5)^2 = 5 - p
25 / 25 = 5 - p
p = 5 - 1
p = 4.