Çözüldü Noktanın ve Doğrunun Analitiği - Üçgende Kenarortay ve Yükseklik - Trigonometri

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/zzgen142.png
https://www.facebook.com/photo/?fbi...30113870758258393&idorvanity=1157240644348123

Çözüm - 1:
C(0, 0) olan ΔABC için hem ağırlık merkezi G(8, 0) hem de diklik merkezi (orthocenter) H(x, 0) aynı doğru olan x ekseni üzerindeyse ikizkenardır, [AB]'nin orta noktası olan E de yine x ekseni üzerindedir ve A(a, b) ise B(a, -b) olur. [CE] yüksekliği simetri merkezi olup aynı zamanda kenarortay ve yüksekliktir.
6 = (0 + a + a) / 3 ⇒ a = 9 ⇒ 9·(b / 2) = 27 / 2 ⇒ b = 3
|CE| = 9 ⇒ E(9, 0)
∡ACE = ∡BCE = arctan(3 / 9) = arctan(1 / 3) ⇒ ∡CBE = 90° - arctan(1 / 3) ⇒ ∡EAH = 90° - [ 90° - arctan(1 / 3) ] = arctan(1 / 3)
AEH Dik üçgeninde tan[ arctan(1 / 3) ] = |EH| / 3 ⇒ 1 / 3 = |EH| / 3 ⇒ |EH| = 1 birim olduğundan H noktasının apsisi 9 - 1 = 8.

Çözüm - 2
Diklik merkezi H(x, 0)
C(0, 0), A(a, b), B(c, d) ise (1 / 2)·| 0·(b - d) + a·(d - 0) + c(0 - b) | = 27 ⇒ a·d - b·c = 27....(I)
6 = (0 + a + c) / 3 ⇒ a + c = 18....(II)
0 = (0 + b + d) / 2 ⇒ b + d = 0....(III)
[AH] ⊥ [BC] ⇒ [ (b - 0) / (a - x) ]·[ (d - 0) / (c - 0) ] = -1 ⇒ b·d = c(x - a)....(IV)
[BH] ⊥ [AC] ⇒ [ (d - 0) / (c - x) ]·[ (b - 0) / (a - 0) ] = -1 ⇒ b·d = a(x - c)....(V)
(IV) ve (V) denklemlerinden a = c....(VI)
(II) ve (VI) denklemlerinden a = c = 9....(VII)
(I) ve (VII) denklemlerinden d - b = 6....(VIII)
(III) ve (VIII) denklemlerinden b = -3....(IX), d = 3....(X)
(VII), (IX), (X) değerleri (IV) veya (V) denklemlerindeki yerlerine yazılıp çözülünce x = 8.

Grafik:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/anali109.png

Not: Grafikte A noktasından geçen kenarortay ve yükseklik doğrularının denklemlerinin bulunması zamanı olan ve ilgilenen öğrencilere ödev.