Optimizasyon - Türev

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve ahmet faik tarafından 25 Haziran 2020 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. ahmet faik

    ahmet faik Yeni Üye

    Mesajlar:
    1
    Beğenileri:
    0
    Cinsiyet:
    Bay
    100 metre uzunluğunda bir çit ile, tabanı duvar olan ikizkenar yamuk şeklinde bir bölge oluşturulacak. Oluşturulabilecek en geniş alanı bulunuz.

  2. Benzer Konular: Optimizasyon Türev
    Forum Başlık Tarih
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Türev - Optimizasyon 15 Mayıs 2020
    Matematik - Geometri Optimizasyon - Türev 11 Mayıs 2020
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Optimizasyon - Türev - Üçgenlerde Benzerlik 23 Nisan 2020
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Optimizasyon - Kare Prizmada Hacim - Türev 19 Şubat 2020
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Türev - Optimizasyon 9 Şubat 2020

  3. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.550
    Beğenileri:
    561
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Şöyle düşündüm;
    İkizkenar yamuk çit;
    taban kenarı |AD| = d uzunluğundaki duvar,
    duvarın iki ucundan uzunlukları eşit ve y metre olan [AB] ve [CD] kenarlarıyla,
    bu kenarların duvar doğrultusundaki izdüşümleri x,
    yüksekliği de Pisagor Teoremi gereğince √(y^2 - x^2) olan ABCD ikizkenar yamuğu şeklinde olsun.
    Yamuğun tavan kenarının uzunluğu: d - 2x
    2y + (d - 2x) = 100 ⇒ y = -d / 2 + x + 50 metre....(I)
    Yamuğun Alanı: S = { [ d + (d - 2x) ] / 2 }·√(y^2 - x^2) = (d - x)·√(y^2 - x^2)....(II)
    (I) değeri (II)'deki yerine yazılırsa;
    S = (d - x)·[ (-d / 2 + x + 50)^2 - x^2 ]^0,5....(III)
    duvar uzunluğu sabit olduğundan x değişkenine göre türev alınıp;
    ∂S / ∂x = -[ (-d / 2 + x + 50)^2 - x^2 ]^0,5 + (d - x)·[ 2(-d / 2 + x + 50) - 2x ] / { 2·[ (-d / 2 + x + 50)^2 - x^2 ]^0,5 }
    ∂S / ∂x = -[ (-d / 2 + x + 50)^2 - x^2 ]^0,5 + (d - x)·[ (-d / 2 + x + 50) - x ] / { [ (-d / 2 + x + 50)^2 - x^2 ]^0,5 }
    ∂S / ∂x = { -[ (-d / 2 + x + 50)^2 - x^2 ] + (d - x)·[ (-d / 2 + x + 50) - x ] } / { [ (-d / 2 + x + 50)^2 - x^2 ]^0,5 }....(IV)
    (IV) türev fonksiyonu sıfıra eşitlenerek;
    -[ (-d / 2 + x + 50)^2 - x^2 ] + (d - x)·[ (-d / 2 + x + 50) - x ] = 0
    (d - x)·[ (-d / 2 + x + 50) - x ] = (-d / 2 + x + 50)^2 - x^2
    (d - x)·(-d / 2 + 50) = (-d / 2 + x + 50)^2 - x^2
    -(d^2) / 2 + d·x / 2 + 50d - 50x = (d^2) / 4 - d·x - 50·d + 100x + 2500
    x = d / 2 - 50 / 3
    x = (3d - 100) / 6....(V) sabit duvar uzunluğuna bağlı olan yan kenarların duvar doğrultusundaki izdüşümlerimin uzunluğu bulunur.
    (V) değeri (III)'teki yerine yazılırsa ikizkenar yamuğun d duvar uzunluğuna bağlı maksimum alanı;
    Maksimum Alan = [ d - (3d - 100) / 6 ]·{ [ -d / 2 + (3d - 100) / 6 + 50 ]^2 - [ (3d - 100) / 6 ]^2 }^0,5
    Maksimum Alan = [ (3d + 100) / 6 ]·{ [ (200 - 3d) / 6 ]^2 - [ (3d - 100) / 6 ]^2 }^0,5 karekök içi çarpanlara ayrılarak sadeleştirilirse;
    Maksimum Alan = [ 5(3d + 100) / 18 ]·√(300 - 6d) metre^2 ve buradan duvarın uzunluğunun 300 - 6d > 0 ⇒ d < 50 metre olması gerektiği de bulunur.
    Başka forumlara veya ilgili Facebook gruplarına da sorulması iyi olur.

    Not: Duvar uzunluğunun 50 metre olması halinde Lagrange Çarpanları Yöntemi uygulanarak yapılmış aşağıdaki örneğe göre çitin çevrelediği alan dikdörtgendir.
    https://www.ahmetcevahircinar.com.tr/2016/03/10/lagrange-carpanlari-yontemi/

Sayfayı Paylaş