Çözüldü Özel Görelilik Kuramı - Dört Boyutlu Uzayda Lorentz Dönüşümleri

University of Toronto Engineering Society'den çözümlü bir problemin test uyarlaması:

Einstein'ın Özel Rölativite Teorisi' gereğince ışık evrende her yönde değişmez (invariant) ve ulaşılabilecek en yüksek hız
(c ≈ 3·10^8 km / saniye) olduğundan Galile dönüşümlerini ışığın hızı sabit kalacak şekilde belirleyen dört boyutlu
(x, y, z, t) uzaya ilişkin aşağıdaki koordinat dönüşümlerini Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) tanımlamıştır:
Başlangıç noktaları çakışık olan S ve S’ referans sistemlerinden S’ sistemi S sistemine göre v hızıyla Ox-ekseni boyunca hareket etsin.
Orijin yani referans noktası O (0,0,0,0) , S ve S' sistemlerindeki birer nokta sırasıyla (x, y, z, t) ile (x’, y’, z’, t'), gözlemcinin kendi referans sistemindeki hızı v, Lorentz Katsayısı da γ olmak üzere;
x' = (x - v·t) / { [ 1 - (v / c)^2 ]^0,5 }
y' = y
z' = z
t' = [ t - v·x / (c^2) ] / { [ 1 - (v / c)^2 ]^0,5 }
γ = 1 / [ 1 - (v / c)^2 ]^0,5
Bir cismin S ve S' sistemlerindeki uzunlukları sırasıyla L ve L' olmak üzere rölativistik hızına bağlı Lorentz Büzülmesi (Lorentz Contraction): L = L' / γ

Samanyolu Galaksisinde devriye nöbetine çıkmış iki Türk uzay gemisinin kaptanları Bnb. Ayşe ve Yzb. Bülent, gemilerini aralarında Dünya kalacak şekilde doğrusal konumlandırarak birbirlerine doğru ışık hızının sırasıyla 0,6 ve 0,8 katındaki sabit hızlarla harekete geçiyorlarsa Yzb. Bülent'in uzay gemisinin komuta kontrol merkezindeki 3 metrelik "Ne Mutlu Türküm Diyene" yazılı tabelaya özel bir teleskopla bakan Bnb. Ayşe'ye bu tabelanın boyu kaç metre görünür?

A) 32 / 39
B) 33 / 35
C) 34 / 37
D) 35 / 39
E) 36 / 37

Probleme göre gözlemci durumdaki Bnb. Ayşe'nin uzay gemisinin kendi referans sistemi olan S içindeki hızı Yzb. Bülent'in hareket yönüne ters olduğundan: v = -0,6·c
S' referans sistemindeki Yzb. Bülent'in S sistemine göre bağıl hızı: x / t = 0,8·c
x' ve t' denklemleri taraf tarafa bölünerek; x' / t' = (x - v·t) / [ t - v·x / (c^2) ]
Eşitliğin sağ tarafında pay ve payda t ile bölünüp: x' / t' = [ (x / t) - v ] / [ 1 - (v / c^2)·(x / t) ]
Yzb. Bülent'in Bnb. Ayşe tarafından gözlenen hızı: x' / t'
x' / t' = [ 0,8·c - (-0,6c) ] / [ 1 - (-0,6·c / c^2)·(0,8·c) ]
x' / t' = 1,4·c / 1,48 = 35·c / 37
Yzb. Bülent'in v = 35·c / 37 hızla Bnb. Ayşe'ye doğru uçarken (Bnb. Ayşe'nin uzay gemisi Yzb. Bülent'e göre artık duruyormuş gibi düşünülebilir) elindeki "Ne Mutlu Türküm Diyene" yazılı 3 metrelik tabelanın bu rölativistik hızdan dolayı Bnb.Ayşe'ye görünen uzunluğu:
L = 3 / { 1 / [ 1 - (v / c)^2 ]^0,5 }
L = 3·{ [ 1 - (v / c)^2 ]^0,5 }
L = 3·{ [ 1 - (35 / 37)^2 ]^0,5 }
L = (3 / 37)·{ [ (37 - 35)(37 + 35) ]^0,5 }
L = (3 / 37)·2·6
L = 36 / 37 metre ≈ 0,97 metre

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/lorent10.png
http://exams.skule.ca/exams/PHY293H1_20149_621426608525Modern Physics-2014solutions.pdf
[ Sayfa 6, Soru 1 Q.2(b) ]

Kaynaklar:
http://www.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/agora/bilim/relativity2.htm
https://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/lecture1.htm
https://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/lorentztrans.html

MIT'den 20 kuruşluk çözümlü bir problemin fen lisesi için biraz zorlaştırılmış klasik sınav uyarlaması:

Yukarıdaki örnekte verilen açıklamaları ve gerekiyorsa çözüm işlemlerini de dikkate alarak aşağıdaki problemi çözünüz:

Dünyadan 16 ışık yılı uzaklıktaki Gliese 832 yıldız sisteminde son yıllarda keşfedilmiş bir ötegezegende yaşam izlerinin araştırılması için The Moody Blues'un "To Our Children's Children's Children" konsept albümünün ismi verilerek başlatılan projede Lorentz faktörü (dönüşüm katsayısı) 5 / 3 olan sabit hızla dünyadan gönderilecek uzay gemisi için;

Dünyadaki gözlem ve uçuş kontrol merkezine göre ötegezegene varışa kadar geçecek süreden, astronotlara göre geçecek yolculuk süresi farkının,

astronotlara göre ışık yılı cinsinden alınacak yol uzunluğunun, ötegezegene varış anında dünyaya durumu bildirmek için oradan gönderilecek ışık sinyalinin gözlem ve uçuş kontrol merkezine göre dünyaya ulaşabilmesi için yine ışık yılı cinsinden geçecek zamanla toplamına oranı bir rasyonel sayı olarak kaçtır?

γ = 1 / [ 1 - (v / c)^2 ]^0,5 = 5 / 3 ⇒ 1 / [ 1 - (v / c)^2 ] = 25 / 9 ⇒ 1 - (v / c)^2 = 9 / 25 ⇒ (v / c)^2 = 16 / 25
v / c = 4 / 5 ⇒ v = 4c / 5

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/mit32.png
https://ocw.mit.edu/courses/8-20-in...fe47e1529554ef_MIT8_20iap21_midterm1_soln.pdf
(Sayfa 5)

(20 - 12) / (9,6 + 30) = 8 / 39,6 = 80 / 396 = 20 / 99.

Notlar:
1. ly = light year, yr: year, L: Length, t: time
2. İndislerdeki E: Earth, SC: Spacecraft