Çözüldü Sabit Katsayılı İkinci Derece ve Sağ Taraflı Lineer Diferansiyel Denklem - Laplace Dönüşümü

y'' - y' - 2y = x·e^x diferansiyel denkleminin y(0) = -1 / 4 ve y'(0) = 3 başlangıç koşullarına göre çözümü:
https://www.facebook.com/photo/?fbi....2164190247458146&idorvanity=1728193711057804
(Soruyu o facebook grubuna gönderen kişi Cauchy-Euler tipi diferansiyel denklemin yapısını bilmiyor.)

Çözüm - 1:
Karakteristik Denklem: r^2 - r - 2 = 0 ⇒ (r - 2)(r + 1) = 0 ⇒ r1 = 2, r2 = -1
Homojen Denklem: y1 = C1·e^(2x) + C2·e^(-x)
İkinci Taraflı Denklemin Özel Çözümü y2 = Z·e^x yazılıp türevler alınarak denklemdeki yerlerine konulursa;
y' = Z'·e^x + Z·e^x
y'' = Z''·e^x + Z'·e^x + Z'·e^x + Z·e^x = Z''·e^x + 2Z'·e^x + Z·e^x
Z''·e^x + 2Z'·e^x + Z·e^x - Z'·e^x - Z·e^x - 2Z·e^x = x·e^x
Z'' + Z' - 2Z = x ve Z = ax + b ⇒ Z' = a, Z'' = 0
0 + a - 2ax - 2b = x eşitliğinden Belirsiz Katsayılar Kuralı gereğince a = -1 / 2 ve b = (1 / 2)(-1 / 2) = -1 / 4 katsayılarıyla,
Z = -x / 2 - 1 / 4
y2 = (-x / 2 - 1 / 4)·e^x
Tam Genel Çözüm: y = y1 + y2 = C1·e^(2x) + C2·e^(-x) + (-x / 2 - 1 / 4)·e^x
Başlangıç koşullarına göre;
y(0) = -1 / 4 = C1 + C2 - 1 / 4 ⇒ C1 + C2 = 0....(I)
y'(0) = 3 = 2C1 - C2 - 1 / 2 - 1 / 4 ⇒ 2C1 - C2 = 15 / 4....(II)
(I) ve (II) denklemlerinin çözümüyle C1 = 5 / 4 ve C2 = -5 / 4 olup özel çözüm;
y = (5 / 4)·e^(2x) - (5 / 4)·e^(-x) + (-x / 2 - 1 / 4)·e^x.

x = t Değişkenine Geçilerek Laplace Dönüşümüyle Çözüm:
ℒ{ y'' - y' - 2y } = ℒ{ t·e^t }
s^2·Y(s) - s·y(0) - y'(0) - s·Y(s) + y(0) - 2·Y(s) = 1! / (s - 1)^(1 + 1)
(s^2 - s - 2)·Y(s) - s·(-1 / 4) - 3 - 1 / 4 = 1 / (s - 1)^2
(s - 2)(s + 1)·Y(s) = (13 - s) / 4 + 1 / (s - 1)^2
Y(s) = (13 - s) / [ 4(s - 2)(s + 1) ] + 1 / [ (s - 2)(s + 1)(s - 1)^2 ] eşitliğinde sağ taraftaki iki terim basit ara işlemler ilgilenen öğrencilere ödev olarak rasyonel kesirlere ayrılınca;
Y(s) = 11 / [ 12(s - 2) ] - 7 / [ 6(s + 1) ] - 1 / [ 4(s - 1) ] - 1 / [ 12(s + 1) ] - 1 / [ 2(s - 1)^2 ] + 1 / [ 3(s - 2) ]
Y(s) = (11 + 4) / [ 12(s - 2) ] - (14 + 1) / [ 12(s + 1) ] - 1 / [ 4(s - 1) ] - 1 / [ 2(s - 1)^2 ]
Y(s) = 5 / [ 4(s - 2) ] - 5 / [ 4(s + 1) ] - 1 / [ 4(s - 1) ] - 1 / [ 2(s - 1)^2 ] ve Ters Laplace Dönüşümü ile;
ℒ^(-1) { Y(s) } = ℒ^(-1) { 5 / [ 4(s - 2) ] - 5 / [ 4(s + 1) ] - 1 / [ 4(s - 1) ] - 1 / [ 2(s - 1)^2 ] }
y(t) = (5 / 4)·e^(2t) - (5 / 4)·e^(-t) - (1 / 4)·e^t - (t / 2)·e^t

WolframAlpha Kontrolu:

https://i.ibb.co/VWLfQrxZ/Laplace-Transform-ODE.png
https://www.wolframalpha.com/input?i=laplace transform of { y''-y'-2y=t*e^t , y(0)=-1/4, y'(0)=3 }

x değişkenine dönülüp,
y(x) = (5 / 4)·e^(2x) - (5 / 4)·e^(-x) - (1 / 4)·e^x - (x / 2)·e^x.