Çözüldü Sekizinci Mertebeden Sabit Katsayılı ve Sağ Taraflı Lineer Diferansiyel Denklemin Özel Çözümü

Konusu 'Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları' forumundadır ve Honore tarafından 1 Temmuz 2020 00:42 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.550
    Beğenileri:
    561
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/D5mnSvV/Biruni-nv29-Haziran2020-soru3.png

    Biruni Üniversitesi Bilgisayar Müh.liği öğrencilerinin 29 Haziran 2020 tarihli 6 sorulu 90 dakikalık sınavındaki 15 puanlı 3. Soru:
    Soruyu hazırlayan zat nasıl olduysa lütfedip "katsayıları hesaplamayın" demiş.

    (D^2)(D^4 - 1)(D^2 - 9)y = 4 + 2x·[ e^(-3x) ] + sinx + x·(e^x)
    [ D^8 - 9(D^6) - D^4 + 9(D^2) ]·y = 4 + 2x·[ e^(-3x) ] + sinx + x·(e^x)....(0)
    D = d / dx olup
    (D^2)(D^4 - 1)(D^2 - 9) = 0
    (D^2)(D^2 - 1)(D^2 + 1)(D + 3)(D - 3) = 0 denkleminden;
    D1 = D2 = 0 (iki katlı kök)
    D3 = -1, D4 = 1
    D5 = 0 - i, D6 = 0 + i
    D7 = -3, D8 = 3
    Problemde sorulmamış olmasına rağmen sağ tarafsız homojen çözüm:
    yh(x) = [ e^(0x) ]·(C1·sinx + C2·cosx) + C3·[ e^(0x) ] + C4·x·[ e^(0x) ] + C5·(e^x) + C6·[ e^(-x) ] + C7·[ e^(-3x) ] + C8·[ e^(3x) ]
    yh(x) = C1·sinx + C2·cosx + C3 + C4·x + C5·(e^x) + C6·[ e^(-x) ] + C7·[ e^(-3x) ] + C8·[ e^(3x) ]

    Sağ taraftaki terimlere göre özel (particular) çözümler:
    Birinci terim 4 = 4·[ e^(0x) ] olduğundan ve 0 karakteristik (auxiliary) denklemin iki katlı gerçel kökü olduğundan;
    yp1(x) = A(x^2)·[ e^(0x) ] = A·(x^2)....(I)

    İkinci terim 2x·[ e^(-3x) ] ve buradaki -3 sayısı, karakteristik denklemin 1 katlı gerçel kökü olduğundan;
    yp2(x) = x·[ e^(-3x) ]·(Bx + D) = B·(x^2)·[ e^(-3x) ] + D·x·[ e^(-3x) ]....(II)

    Üçüncü Terim sin(1·x) ve buradaki 1 sayısı, karakteristik denklemin bir katlı kompleks köklerinin (0 ∓ i) imajiner kısmının (1·i) katsayısına eşit olduğundan;
    yp3(x) = [ e^(0x) ]·(x^1)·[ E·cos(1·x) + F·sin(1·x) ]
    yp3(x) = x(E·cosx + F·sinx).....(III)

    Dördüncü Terim x·[ e^(1·x) ] ve buradaki 1 sayısı, karakteristik denklemin bir katlı gerçel kökü olduğundan;
    yp4(x) = [ e^(1·x) ]·(x^1)·(Gx + H)
    yp4(x) = G·(x^2)·(e^x) + H·x·(e^x)....(IV)

    (I) + (II) + (III) + (IV) yazılarak özel çözümün tamamı;
    yp(x) = A·(x^2) + B·(x^2)·[ e^(-3x) ] + D·x·[ e^(-3x) ] + x(E·cosx + F·sinx) + G·(x^2)·(e^x) + H·x·(e^x)

    A, B, D, E, F, G, H katsayılarının bulunması, değeri ancak 15 puan takdir edilmiş bu soruda Allah'a şükürler olsun ki istenmemiş çünkü bu durumda (I), (II), (III), (IV) ifadelerinin herbirinin 8 (sekiz) kez türevlerinin alınarak (0) numaralı denklemde 8'nci, 6'ncı, 4'ncü ve 2'nci türev fonksiyonlarının ayrı ayrı yerlerine yazılıp Belirsiz Katsayılar Kuralı'na göre ortaya çıkacak ara denklemlerin çözümüyle yapılabilecekti.

    Aşağıda WolframAlpha'nın (WA) kendi keyfine göre sıraladığı ve yalnızca C harfi kullanarak oluşturduğu katsayılara göre verdiği sonuca bakılırsa bunun nasıl bir işkence olacağı hemen anlaşılabilir.

    [​IMG]
    https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/biruni10.png
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''''''''-9y''''''-y''''+9y''=4+2x(e^(-3x)) + sin(x)+xe^(x)

    Notlar:
    1) WA'nın sonucundaki c2 / 400 ve c1 / 40 ayrı birer katsayı olarak düşünülmelidir ve yukarıdaki çözümde bunlar C1 ve C2 olarak yazılıdır.
    2) Diğer sayısal değerlerin olduğu ifadelere dikkat edilirse hepsinin (I), (II), (III), (IV) yapılarıyla tam uyumlu oldukları görülmektedir.
    3) (III) eşitliğinde olduğu halde WA'nın sonucunda x·sinx teriminin olmaması türev işlemlerinden sonra çıkacak denklemlerin çözümünde F katsayısının sıfır bulunacağını göstermektedir.

  2. Benzer Konular: Sekizinci Mertebeden
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları I. Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemle Karışım Problemi Çözümü 15 Aralık 2019
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları İntegrasyon Çarpanı-Bernoulli Diferansiyel Denklemi-I. Mertebeden Lineer Denklem 2 Aralık 2019
    Limit ve Süreklilik,Türev,İntegral Dördüncü Mertebeden Türev 23 Eylül 2019
    Matematik - Geometri Üçüncü Mertebeden Türev - Maksimum Alanlı Dikdörtgende Çevre 25 Aralık 2017
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları Birinci Mertebeden ve Lineer Olmayan Diferansiyel Denklem 18 Aralık 2017

Sayfayı Paylaş