Çözüldü Trigonometrik İşlem, sin(18°) = cos(72°) Hesabı

[ cos(36°) ]^2 + [ sin(18°) ]^2 = ?

Sayın hocamız Doç.Dr. Şamil Akçağıl'ın çözüm açıklaması:
36°-72°-72° üçgeninden sin(18°) = (1/4)(√5-1) yarım açı formülleri ile cos(36°) = (1/4)(√5+1) dir. İkisinin kareleri toplanırsa sonuç 3/4 olarak bulunur.
---
Sayın hocamız Mesut Mutlu'nun çizimleri ve sin18° çözümleri:

https://image.ibb.co/fohFVK/cos72_1.png
http://i1375.photobucket.com/albums/ag471/mesutmutlu/cos72_zpsb50b2db7.jpg


https://image.ibb.co/mB7M4e/cos72_2.png
http://i1375.photobucket.com/albums/ag471/mesutmutlu/sin18_zps6b929163.jpg
---
Trigonometri ve cebirsel işlemlerle sin(18°) = cos(72° ) = ? işleminin yapılışı:
sin(54°) = sin(3·18°) = cos(36°) = 1 - 2·[ sin(18°) ]^2 ve ilgili özdeşliğine göre sin(3·18°) = 3·sin(18°) - 4·[ sin(18°) ]^3 yazılarak,
3·sin(18°) - 4·[ sin(18°) ]^3 = 1 - 2·[ sin(18°) ]^2
4·[ sin(18°) ]^3 - 2·[ sin(18°) ]^2 - 3·sin(18°) + 1 = 0
[ sin(18°) - 1 ]·{ 4·[ sin(18°) ]^2 + 2·sin(18°) - 1 } = 0 şeklinde çarpanlara ayırılıp sin(18°) ≠ 0 ve sin(18°) ≠ 1 olduğu için sadeleştirilerek ikinci derece denklem sin(18°) = x gibi bir değişken dönüşümüyle;
4x^2 + 2x - 1 = 0 şeklinde çözülürse x = sin(18°) = cos(72°) yine bulunabilir. Bu ikinci derece denklemi çözerek sonucun doğruluğunu görmek ve sin(3·18°) açılımına ilişkin özdeşliğin nasıl çıkartıldığını öğrenmek veya ezberlemek ilgilenen öğrencilere ödev.

İlgili başka bir soru: cos(72°)·cos(36°) = ?
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=912495665606991&set=gm.2336801006335251&type=3&theater&ifg=1
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

cos(72°)·cos(36°) = (1 / 2)·[ cos(72° - 36°) + cos(72° + 36°) ] = (1 / 2)·[ cos(36°) - cos(72°) ] =
(1 / 2)·{ 1 - 2·[ sin(18°) ]^2 - sin(18°) }
cos(72°)·cos(36°) = 1 / 2 - [ sin(18°) ]^2 - (1 / 2)·sin(18°)....(I)
Yukarıdaki çözümlerden biriyle, mesela trigonometrik çözümle x = sin(18°) dönüşümüyle oluşan 4x^2 + 2x - 1 = 0 denkleminden bulunan sin(18°) = (√5 - 1) / 4 değeri (I) eşitliğinde sağ taraftaki yerine konursa;
cos(72°)·cos(36°) = 1 / 2 - [ √5 - 1) / 4 ]^2 - (1 / 2)·[ (√5 - 1) / 4 ]
cos(72°)·cos(36°) = 1 / 2 - (3 - √5) / 8 - (√5 - 1) / 8
cos(72°)·cos(36°) = (4 - 3 + √5 - √5 + 1) / 8
cos(72°)·cos(36°) = 2 / 8
cos(72°)·cos(36°) = 1 / 4

https://i.ibb.co/HVTyLD9/sin72.png
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=388430085657493&set=gm.2067512690052930&type=3&theater
(Sentetik Çözüm)
(Sorunun gönderildiği Facebook grubu 25 Eylül 2022 tarihinde "Private" duruma getirildiği için sorunun aslını ve varsa diğer çözümleri ancak üyeleri görebilir.)

Daha önceki trigonometrik ve cebirsel çözümde verilen ikinci derece 4x^2 + 2x - 1 = 0 denkleminin kökü olan
x = sin(18°) = cos(72°) = (-1 + √5) / 4 değeri kullanılarak sin(72°) = { 1 - [ (-1 + √5) / 4 ]^2 }^0,5 = [ (10 + 2√5)^0,5 ] / 4

Oxford University, Imperial College ve University of Warwick Kasım 2022 giriş sınavındaki çözümlü sorulardan birinin seçenekleri değiştirilip AYT için biraz zorlaştırılmış uyarlaması:

sin(5θ) = 5·sin(θ) − 20·[ sin(θ) ]^3 + 16·[ sin(θ) ]^5 ⇒ sin(2π / 5) = ?

A) [ (5 - √5) / 8 ]^0,5
B) (10 + 2·√5)^0,5 / 4
C) (√5 - 1) / 4
D) (√5 + 1) / 4
E) √5 / 4

Doğru Yanıt: B

Sorunun Aslı ve Çözümü:

https://i.ibb.co/QrrzfRT/OX.png
https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/test22.pdf (Sayfa 5, Soru F)
Çözüm: https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/inline-files/websolutions22.pdf (Sayfa 2)

Not: Sorunun aslındaki a şıkkı ile uyarlamanın B seçeneğinin aynı olduğunu görmek ilgilenen öğrencilere ödev.