Çözüldü Türev - İntegral - Diferansiyel Denklem Sistemi

https://i.ibb.co/HCtJvFg/Fonksiyon.png
https://www.facebook.com/photo?fbid=5009623302486314&set=gm.1624033234641850

Çok düşündüm ama lise programındaki bilgilerle nasıl yapılabileceğini bulamadım.

Çözümün daha kolay takibi için f(x) = y ve g(x) = z değişken dönüşümleriyle problemdeki denklemler;
y' = y^2 - y - z + 6....(I) ⇒ y'' = 2y·y' - y' - z'....(II)
z' = -y^2 + y + z - 6....(III)
(III) eşitliği (II)'deki terine konularak;
y'' = 2y·y' - y' - (-y^2 + y + z - 6)
y'' = 2y·y' - y' + y^2 - y - z + 6....(IV)
(I)'den z = y^2 - y - y' + 6....(V)
(V) eşitliği (IV)'e götürülerek;
y'' = 2y·y' - y' + y^2 - y - (y^2 - y - y' + 6) + 6
y'' = 2y·y' - y' + y^2 - y - y^2 + y + y' - 6 + 6
y'' = 2y·y'....(VI)
y' = p....(VII)
dy / dx = p ⇒ y'' = p' = (dp / dy)·(dy / dx) = (dp / dy)·p....(VIII)
(VII) ve (VIII) eşitlikleri (VI)'da kullanılıp;
(dp / dy)·p = 2y·p
dp = 2ydy ⇒ p = y^2 + C1....(IX)
(VII) ve (IX) eşitlikleriyle y' = y^2 + C1 ⇒ y = y^3 / 3 + C1·y + C2....(X)
(X) eşitliğinde y = f(x) dönüşümüyle x değişkenine geri dönülerek f(x) = (1 / 3)·{ [ f(x) ]^2 } + C1·f(x) + C2....(XI)
(XI)'de f(0) = 5 değeri kullanılıp 5 = (1 / 3)·(5^3) + 5C1 + C2 ⇒ 5C1 - C2 = -110 / 3....(XII)
(XI) eşitliği (V)'teki yerine yazılıp z = g(x) dönüşümüyle yine x değişkenine geri dönülerek;
g(x) = -(1 / 3)·{ [ f(x) ]^2 } - C1·f(x) - C2 + 6 - C1
1 = (-1 / 3)·(5^2) - 5C1 - C2 + 6 - C2
-6C1 - C2 = 110 / 3....(XIII)
(XII) ve (XIII) eşitlikleri taraf tarafa toplanarak C1 = 0....(XIV) ve bu değer o eşitliklerden birinde kullanılıp C2 = -110 / 3....(XV)
(XIV) ve (XV) değerleri (XI)'deki yerlerine yazılıp f(x) = (1 / 3)·{ [ f(x) ]^3 } - 0·f(x) - 110 / 3 denklemi düzenlenip;
[ f(x) ]^3 - 3·f(x) - 110 = 0 üçüncü derece denkleminin Rasyonel Kök Teoremi gereğince 110'un bölenlerinden olan ∓5 için sağlanabileceği kontrol edilirse f(x) = 5 alınarak 5^3 - 3·5 - 110 = 0 eşitliği sağlandığından f(x) = 5 gibi sabit bir fonksiyondur ve f(2 / 5) = 5 olur.