Çözüldü Türevin Limit Tanımı - Trigonometri (YKS 2020'de yok)

IOWA State University'den çözümlü bir örneğin biraz zorlaştırılmış test (veya klasik sınavda çözümün de gösterilmesi istenen) uyarlaması

lim (t → 2) [ (t^2)·sin(t^2) - 4sin(4) ] / (t - 2) = ?

A) 17sin(4) - 16cos(4)
B) 4cos(4) - 16sin(4)
C) 4sin(16) - cos(4)
D) (4√17)cos[ arctan(0,25) - 4 ]
E) 4cos[ 4 - arctan(4) ]

f(t) = (t^2)sin(t^2) olduğundan 0 / 0 belirsizliği de dikkate alınarak limit değerin f '(2) olduğu yani fonksiyonun t = 2 noktasındaki türevidir. O halde f '(t) = 2t·sin(t^2) + (t^2)·[ 2t·cos(t^2) ] = 2t·sin(t^2) + 2(t^3)·cos(t^2)
f '(2) = 4sin4 + 16cos4 = 16[ (1 / 4)sin4 + cos4 ]....(I)
tanθ = 1 / 4 = sinθ / cosθ....(II)
(II) eşitliği (I)'de kullanılırsa 16[ (sinθ / cosθ)sin4 + cos4 ] =
(16 / cosθ)[ (sinθ)sin4 + (cosθ)cos4 ] =
(16 / cosθ)cos(θ - 4)....(III)
(II)'deki eşitliğe uygun dik üçgenden Pisagor Teoremi ile hipotenüs √(1^2 + 4^2) = √17 ve cosθ = 4 / √17....(IV) olup (IV) değeri (III)'teki yerine yazılarak;
[ 16 / (4 / √17) ]cos[ arctan(1 / 4) - 4 ]
(4√17)cos[ arctan(0,25) - 4 ] bulunur.

WolframAlpha Kontrolları:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(4sqrt(17))(cos(arctan(1/4)-4))
https://www.wolframalpha.com/input/?i=A*(cos(arctan(0.25)-4))=4sin(4)+16cos(4),A=? (4√17 ≈ 16,4924...)

Sorunun aslı ve çözümü:

https://i72.servimg.com/u/f72/19/97/10/39/iowa_l10.png
https://drive.google.com/file/d/15QMVxvqO10nHbA32zr2gjLrLdNlQf-to/view
[ Sayfa 5, soru 4.(c) ]

Not: Soruda L'Hôpital Kuralının kullanılmasına izin verilmiyor olmasına rağmen f '(t) türevi alındığında kuralın uygulanmasında yapılacak türev işlemi de büyük ölçüde tamamlanıyor çünkü pay'daki 4sin(4)'ün türevinin 0 ve paydadaki (t - 2) ifadesinin türevinin de 1 olduğu hemen görülmektedir. Yani kuralın uygulanmasının istenmemesi bu problemde zaten çok önemli bir fark oluşturmuyor.

https://i.ibb.co/drGQQkx/limit-t-rev.png
https://scontent.fada2-2.fna.fbcdn....=caccaff8bb77c21ac857d767693dcf48&oe=5E933B92
https://www.facebook.com/photo.php?...&set=gm.3380949131920428&type=3&theater&ifg=1

Çözüm - 1:
0 / 0 Belirsizliği nedeniyle L'hôpital Kuralı uygulanarak lim (h → 1) [ 3·f '(2 + 3h) - (-3)·f '(8 - 3h) ] / (0 - 1) =
-[ 3·f '(5) + 3·f '(5) ] =
-6·f '(5) =
-6·6 =
-36
---
Çözüm - 2:
f '(5) = 6 eşitliğini sağlayabilen herhangi bir fonksiyon f(x) = 3(x^2) / 5 olsun.
lim (h → 1) [ (3 / 5)(2 + 3h)^2 - (3 / 5)(8 - 3h)^2 ] / (1 - h) =
(3 / 5)·{ lim (h → 1) [ (4 + 12h + 9h^2) - (64 - 48h + 9h^2) ] / (1 - h) } =
(3 / 5)·[ lim (h → 1) (60h - 60) / (1 - h) ] =
(3 / 5)·60·{ lim (h → 1) (h - 1) / [ -(h - 1) ] } =
3·12·[ lim (h → 1) (-1) ] =
36·(-1) =
-36

McMaster University'den çözümlü bir örneğin test uyarlaması:
lim (h → 0) [ arcsin(1 / 2 + h) - arcsin(1 / 2) ] / h = ?
A) 1 / 4
B) (√3) / 4
C) 1 / √3
D) (√3) / 2
E) 2 / √3


https://i.ibb.co/By7wXtm/Mc-Master-Limit.png
https://ms.mcmaster.ca/~clemene/1LS3solutions/M1LS3_T2_winter2020_solns.pdf
(İlk soru)