Üçgende Açı - Trigonometri (Soru Hatalı)

Soruyu leş gibi haliyle Facebook Lise Öğretmenleri Grubu'na gönderen kişinin yanıltıcı ve yanlış çizimleriyle diğer işaretlemelerine bakılmamasını özellikle tavsiye ediyorum.

https://i.ibb.co/QKGr7Sq/Tahterevalli-soru.png
https://www.facebook.com/photo/?fbid=10161573636687440&set=g.289690338076153


https://i.ibb.co/d628t2B/Tahterevalli.png

Soruda bulunması istenen |BB'| için |AH| = 3√10 birim uzunluğunun bilinmesi gerekmediği gibi bu değer üstelik yanlış.
|BB'| = x
|B'H| = x / 3
Dikkat: Soruyu yollayanın zannettiğinin aksine B, B', H noktaları dönüşlerde tahterevallinin uç noktalarının çizdiği r birim yarıçaplı dairesel hareket nedeniyle doğrusal olamaz!
ADO Dik Üçgeninde Pisagor Teoremi gereğince r^2 = 3^2 + (r - 1)^2 ⇒ r = 5 birim
∡A'OD = θ = arctan[ 3 / (5 - 1) ] = arctan(3 / 4) = ∡BOB'
|BO| = |B'O| = r = 5 birim nedeniyle ikizkenar ΔB'BO için Kosinüs Teoremi kullanılarak;
|BB'| = x = { 5^2 + 5^2 - 2·5·5·cos[ arctan(3 / 4) ] }^0,5 = √10 birim.
---
Çözüm bitmiştir ve aşağıdaki işlemler |AH| ≠ 3√10 birim olduğunun ispatı ve gerçek değerinin bulunması içindir:
Çemberde çapı gören çevre açı 90° olduğundan ∡AB'B = 90°
Demir çubuğun boyu: |B'H| = |BB'| / 3 = √10 / 3 birim
AB'B Dik Üçgeninde Pisagor Teoremi gereğince |AB'| = [ (5 + 5)^2 - (√10)^2 ]^0,5 = 3√10 birim....(I)
AHB' dik üçgeninde |AB'| hipotenüs olduğundan 3√10 = |AB'| > |AH| olması gerektiğinden |AH| ≠ 3√10 birim
AHB' dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile (3√10)^2 = |AH|^2 + (√10 / 3)^2 ⇒ |AH| = (20√2) / 3 birim < 3√10 = |AB'|.
---
Aşağıdaki işlemler y = |CH| ve φ açısının hesaplanması içindir.
∡B'CH = 180° - (90° - φ / 2) - (θ / 2 + φ / 2) = 90° - θ / 2
tan(∡B'CH) = (√10 / 3) / y
tan(90° - θ / 2) = (√10 / 3) / y
cot(θ / 2) = (√10 / 3) / y
y = (√10 / 3)·tan(θ / 2)....(I)
tan(θ) = 3 / 4 ⇒ tan(θ / 2) = 1 / 3....(II)
(II) değeri (I)'deki yerine konulunca y = |CH| = √10 / 9 birim....(III)
B'HC Dik üçgeninde Pisagor Teoremi ile |B'C| = [ (√10 / 3)^2 - (√10 / 9)^2 ]^0,5 = 4·√5 / 9 birim....(IV)
İkizkenar ΔB'OC için Sinüs Teoremi ile (4·√5 / 9) / sin[ 180° - (θ + φ) ] = 5 / sin(θ / 2 + φ / 2)
4·√5 / [ 9·sin(θ + φ) ] = 5 / sin(θ / 2 + φ / 2) eşitliği sadeleştirilerek düzenlenince
2·√5 / 45 = cos(θ / 2)·cos(φ / 2) - sin(θ / 2)·sin(φ / 2)....(V)
(II)'den cos(θ / 2) = 3 / √10 ve sin(θ / 2) = 1 / √10 bulunarak (V) eşitliğindeki yerlerine yazılıp düzenlenirse
√8 / 9 = 3·cos(φ / 2) - sin(φ / 2)....(VI) denkleminden φ ≈ 2,3 radyan ≈ 132°.

Notlar:
1. p = |AE| = |CE| = 5·sin(φ / 2) ≈ 5·sin(66°) ≈ 4,56 birim
2. (VI) denkleminin çözümü;
cos(φ / 2) = { 1 - [ tan(φ / 4) ]^2 } / { 1 + [ tan(φ / 4) ]^2 }
sin(φ / 2) = 2·tan(φ / 4) / { 1 + [ tan(φ / 4) ]^2 } dönüşümleriyle değişkeni tan(φ / 4) olan ikinci derece denklemle kolayca yapılabilir, bu işlemler ilgilenen öğrencilere ödev.