Çözüldü Uzayda Doğrunun Düzleme Dikliği

Uzayda A(1, 1, 1) noktasından geçen ve x + y + z = 12 düzlemine dik olan doğru bu düzlemi B noktasında kesiyorsa
|AB| = ?

LYS 2016
https://dokuman.osym.gov.tr/pdfdokuman/2016/LYS/Sorular/2016_LYS1_GEOMETRI.pdf
(Son soru, Yanıtlar son sayfada)

p, q, r, k, t ∈ R
1·x + 1·y + 1·z = 12 Düzleminin doğrultman vektörü N(1, 1, 1) olup (1, 1, 1) noktasından geçen (x - 1) / p = (x - 1) / q = (x - 1) / r = t doğrusunun N vektörüne paralel olması gerektiğinden 1 / p = 1 / q = 1 / r ⇒ p = q = r = k alınıp,
sin(90°) = (1·k + 1·k + 1·k) / { [ (1^2 + 1^2 + 1^2)^0,5 ]·[ (1^2 + 1^2 + 1^2)^0,5 ] }
1 = 3k / 9 ⇒ k = 3
(x - 1) / 3 = (x - 1) / 3 = (x - 1) / 3 = t ⇒ x = y = z = 3t + 1 koordinatları düzlem denklemindeki yerlerine yazılınca 9t + 3 = 12 ⇒ t = 1 ve kesim noktasının koordinatları da x = y = z = 3·1 + 1 = 4 yani B(4, 4, 4) olarak,
|AB| = [ (4 - 1)^2 + (4 - 1)^2 + (4 - 1)^2 ]^0,5 = 3√3 birim.