Çözüldü Yarım Çemberde Kare - Trigonometri (çok uğraştım ama yapamadım)

Konusu 'Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı' forumundadır ve Honore tarafından 16 Nisan 2019 başlatılmıştır.

Yüklüyor...
  1. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.550
    Beğenileri:
    561
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    [​IMG]
    https://i.ibb.co/pnCXLGC/Yar-m-ember-Kare-Soru.png
    https://scontent-vie1-1.xx.fbcdn.ne...=03e3693f06aeb27e73d3754f3be8bb66&oe=5D4E4F36
    https://www.facebook.com/photo.php?fbid=822621034760179&set=gm.2705756052829900&type=3&theater

    Sentetik bir çözümü zaten göremediğim gibi trigonometrik olarak da sonuca ancak hesap makinesiyle gidebildiğim için ne çözümden ne de sonuçtan eminim. İlgilenen hayırseverlerden bir çözüm gelirse veya nerede hatalı olduğumu gösterirlerse şimdiden çok teşekkür ederim.

    [​IMG]
    https://i.ibb.co/DMcsyZX/Yar-m-ember-Kare-izim.png

    ∆BEF için Sinüs Teoremi ile (a√2) / sin(135° - α) / = 2r·cos(135° - α) / sin(45°)

    a / r = 2·[ sin(135° - α) ]·[ cos(135° - α) ] / [ (√2)·(1 / √2) ] = sin(270° - 2α) = -cos(2α) ⇒ r = -a / cos(2α)....(I)

    veya EGF dik üçgeninde sin(45°) = -r·cos(2α) / (a√2) ⇒ a / r = -cos(2α) / [ (√2)·sin(45°) ] = -cos(2α)

    ∆CFO için Sinüs Teoremi ile; |CF| / sin(180° - 2α) = a / sin(2α - 135°) ⇒ |CF| = [ a·sin(2α) ] / sin(2α - 135°)....(II)

    ∆EFO için Kosinüs Teoremi ile; ( |CE| + |CF| )^2 = |EO|^2 + |FO|^2 - 2·|EO|·|FO|·cos(EOF)

    { a√2 + [ a·sin(2α) ] / sin(2α - 135°) }^2 = a^2 + r^2 - 2·a·r·cos(270° - 2α) eşitliğinde (I) ifadesi de kullanılarak düzenleme yapılırsa;

    (a^2){ √2 + [ sin(2α) ] / sin(2α - 135°) }^2 = a^2 + [ -a / cos(2α) ]^2 - 2·a·[ -a / cos(2α) ]·[ -sin(2α) ]

    { √2 + [ sin(2α) ] / [ (-1 / √2)·sin(2α) - (1 / √2)·cos(2α) ] }^2 = 1 + [ sec(2α) ]^2 - 2tan(2α)

    { √2 - (√2)·[ sin(2α) ] / [ sin(2α) + cos(2α) ] }^2 = 2 + [ tan(2α) ]^2 - 2tan(2α)

    2{ 1 - [ sin(2α) ] / [ sin(2α) + cos(2α) ] }^2 = 2 + [ tan(2α) ]^2 - 2tan(2α)

    2{ 1 - [ tan(2α) ] / [ tan(2α) + 1 ] }^2 = [ tan(2α) ]^2 - 2tan(2α) + 2

    2{ 1 / [ tan(2α) + 1 ] }^2 = [ tan(2α) ]^2 - 2tan(2α) + 2

    2 / { [ tan(2α) ]^2 + 2tan(2α) + 1 } = [ tan(2α) ]^2 - 2tan(2α) + 2...(III)

    tan(2α) = y....(IV) değişken dönüşümüyle 2 = (y^2 + 2y + 1)(y^2 - 2y + 2) olup düzenlenirse;

    2 = y^4 - 2y^3 + 2y^2 + 2y^3 - 4y^2 + 4y + y^2 - 2y + 2 ve sadeleştirilip;

    y^4 - y^2 + 2y = 0 denklemi tan(2α) = y ≠ 0 olduğundan iki taraf y ile bölünerek;

    y^3 - y + 2 = 0 kübik denklemi bulunarak herhangi bir sayısal analiz yöntemiyle veya http://www2.trinity.unimelb.edu.au/~rbroekst/MathX/Cubic Formula.pdf adresindeki gibi çözülürse tek gerçel kök olarak y = -1,5214....(V) bulunur.

    (V) değeri (IV) eşitliğine taşınarak tan(2α) = -1,5214

    2α = arctan(-1,5214) = 180° - arctan(1,5214)

    α = 90° - (1 / 2)(56,683°)

    α ≈ 61,66°

    WolframAlpha Kontrolları:
    https://www.wolframalpha.com/input/...2tan(2α) + 1 } = 2 + [ tan(2α) ]^2 - 2tan(2α)
    α ≈ 0,5(3,14159n - 0,989308), n ε Z olarak verilen ikinci gerçel kökte n = 1 için α ≈ 1,076141 radyan ≈ (1,076141)·180° / π ≈ 61,66°

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=tan(2alpha)=-1.5214

  2. Benzer Konular: Yarım Çemberde
    Forum Başlık Tarih
    Akademik Soru Çözümleri ve Kaynakları İntegral Uygulaması - Cardioid Alanı (Green Teoremi) ve Yarım Küre Hacmi (2 Soru) 28 Nisan 2020
    Çemberde Açı-Uzunluk ve Dairenin Alanı Yarım Çember ve Dik Üçgende Uzunluk - Trigonometri 19 Nisan 2019
    Matematik - Geometri Yarım Daireler Arasındaki Alan 5 Mart 2019
    Matematik - Geometri Dik Üçgende Yarım Çember 22 Mayıs 2018
    Matematik - Geometri Yarım açı 4 Nisan 2017

  3. Ali Abi

    Ali Abi Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    qq (2).jpg
    Honore bunu beğendi.
  4. Honore

    Honore Yönetici Yönetici

    Mesajlar:
    4.550
    Beğenileri:
    561
    Cinsiyet:
    Bay
    Meslek:
    Müh. (Elk./Bilg.)
    Çok teşekkür ederim, elinize ve zihninize sağlık.
    Ali Abi bunu beğendi.
  5. Ali Abi

    Ali Abi Yeni Üye

    Mesajlar:
    2
    Beğenileri:
    1
    Cinsiyet:
    Bay
    Benim için zevkli bir antreman oldu. İYİ çalışmalar.

Sayfayı Paylaş