Çözüldü İntegralde Alan

Stanford University Math Tournament 15 Şubat 2014 tarihli yarışmasının çözümlü sorularından birinin zorlaştırılmış AYT uyarlaması:

a çift sayı olmak üzere f(x) = (x^a + 1) / (1 + a^x) fonksiyonunun x = ∓a doğruları ve x ekseni arasında kalan kapalı alan kaç birim karedir?

A) (a^a)·(a + 1) / (a - 1)
B) (a^a)·(a - 1) / (a + 1)
C) a·(a^a - a + 1) / (a - 1)
D) a·(a^a + a + 1) / (a + 1)
E) (a^a) / (a + 1)

Aranan alanın değerini verecek olan integral I olmak üzere x yerine -x yazılarak düzenlenirse;

2I = (alt sınır x1 = -a, üst sınır x2 = a), ∫ (x^a + 1) dx / (1 + a^x) - (alt sınır x1 = -a, üst sınır x2 = a), ∫ (x^a + 1) dx / [ 1 + a^(-x) ]
2I = (alt sınır x1 = -a, üst sınır x2 = a), ∫ { (x^a + 1) / (1 + a^x) + (x^a + 1) / [ 1 + a^(-x) ] } dx =
2I = (alt sınır x1 = -a, üst sınır x2 = a), ∫ { (x^a + 1) / (1 + a^x) + [ (a^x)(x^a + 1) / (1 + a^x) ] } dx =
2I = (alt sınır x1 = -a, üst sınır x2 = a), ∫ [ (1 + x^a)(1 + a^x) / (1 + a^x) ] dx =
2I = (alt sınır x1 = -a, üst sınır x2 = a), ∫ (1 + x^a) dx
2I = (alt sınır x1 = -a, üst sınır x2 = a), |x + { [ x^(a + 1) ] / (a + 1) }| =
I = (1 / 2)·{ a + [ a^(a + 1) / (a + 1) ] - [ -a + (-a)^(a + 1) / (a + 1) ] }
I = (1 / 2)·{ a + [ a^(a + 1) / (a + 1) ] + a - [ (-a)^(a + 1) / (a + 1) ] }
I = (1 / 2)·{ 2a + [ a^(a + 1) - (-a)^(a + 1) ] / (a + 1) }
I = (1 / 2)·( 2a + { (a^a)·a - [ (-a)^a ]·(-a) ] } / (a + 1) )
I = (1 / 2)·( 2a + { (a^a)·a + [ (-a)^a ]·a ] } / (a + 1) )
a çift olduğundan;
I = (1 / 2)·{ 2a + { [ (a^a)·a + (a^a)·a ] / (a + 1) }
I = (1 / 2)·{ 2a + [ 2a·(a^a) ] / (a + 1) }
I = (1 / 2)·(2a)·[ 1 + (a^a) / (a + 1) ]
I = a·(a^a + a + 1) / (a + 1).

Not: Aşağıda verilen sorunun aslındaki gibi a = 2 için I = 2·(2^2 + 2 + 1) / (2 + 1) = 14 / 3 birim^2 olur.


https://i.ibb.co/GTSZmYd/Stanford.png
https://sumo.stanford.edu/pdfs/smt2014/calculus-solutions.pdf
(Sayfa 3, Soru 8)