Çözüldü Karede Alan

Doğruysa bile daha kısa bir çözüm mutlaka vardır.

Alan(ABCD) = √50 = |AD|^2 ⇒ |AD| = 5√2
|AN| = x ⇒ |BN| = 5√2 - x
|AK| = y ⇒ |DK| = 5√2 - y....(I)
ENB Açısı = ANK Açısı = 15° ⇒ AKN Açısı = 90° - 15° = 75°
DKG Açısı = 180° - (90° + 75°) = 15°

ANK dik üçgeninde;
cot75° = y / x ⇒ y = x·tan15°....(II)
|KN| = x / cos15°....(III)

(II) eşitliği, (I)'de yerine yazılırsa |DK| = 5√2 - x·tan15°....(IV)

BEN dik üçgeninde |EN| = (5√2 - x)·cos15°....(V)
DGK dik üçgeninde cos15° = (5√2 - x·cot75°) / |GK| ⇒ |GK| = (5√2 - x·tan15°) / cos15°....(VI)
|EK| = |EN| + |KN| = |GK| olup burada (V), (III), (VI) eşitlikleri, yerlerine yazılırsa;

(5√2 - x)·cos15° + [ x / cos15° ] = (5√2 - x·tan15°) / cos15° olup düzenlenerek;
5√2·[ cos(15°) ]^2 - x·[ cos(15°) ]^2 + x = 5√2 - x·tan15° ve burada tan15° = sin15° / cos15° ile [ cos(15°) ]^2 = 1 - [ sin(15°) ]^2 yazılıp yine düzenlenerek sadeleştirilirse 5√2·sin15°·cos15° = x·[ (sin15°·cos15° + 1) / cos15° ] olduğundan
sin15°·cos15° = (1 / 2)sin30° = 1 / 4 eşitliği kullanılıp;

5√2 / 4 = 5x / 4 ⇒ x = √2....(VII) ile ayrıca cos15° = cos(45° - 30°) = (√6 + √2) / 4....(VIII) ve tan15° = tan(45° - 30°) = 2 - √3....(IX) eşitlikleri (VI)'da yerlerine yazılıp düzenlenerek paydası rasyonel yapılmak suretiyle sadeleştirilirse |GK| = 2√12 bulunur.

Alan(EFGK) = |GK|^2 = (2√12)^2 = 48 çıktı.
---
Sorunun Yedeği: http://i1224.photobucket.com/albums/ee362/vmhugo/Forum Pictures/kare-5.png