Çözüldü Parabol Teğetleri

y = x^2 + 3 parabolüne A(1, 0) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarının ordinatları toplamı kaçtır? (Cevap: 16)

Analitik Çözüm:
A noktasından geçen doğrular y = mx + n ile gösterilirse 0 = m·1 + n ⇒ n = - m
Parabol ve doğru kesiştirilip teğetlik şartı için ortak denklemin diskriminantı sıfıra eşitlenirse;
f(x) = x^2 + 3 = mx - m ⇒ f(x) = x^2 - mx + m + 3 = 0
Δ = m^2 - 4(m + 3) = (m - 6)(m + 2) = 0 ⇒ m1 = 6 ⇒ n1 = -6, m2 = -2 ⇒ n2 = 2
m1 = 6 ⇒ f(x) = x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 ⇒ x1 = 3 ⇒ y1 = 3^2 + 3 = 12
m2 = -2 ⇒ f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0 ⇒ x2 = -1 ⇒ y2 = (-1)^2 + 3 = 4
y1 + y2 = 12 + 4 = 16

Türevle Çözüm:
Teğetlerin değme noktaları sırasıyla (a1, b1) ve (a2, b2) ve genel olarak da (a, b) olsun.
y ' = 2x ⇒ m = 2a....(I) ve y = mx + n genel teğet denklemine göre b = m·a + n olup bu iki eşitlikten b = 2a^2 + n....(II) yazılır.
Ayrıca A(1, 0) noktasından geçen teğetler için 0 = m + n ⇒ n = -m ve (I) eşitliğinden de n = -2a....(III) yazılır.
(a, b) noktaları parabol üzerinde olduğundan b = a^2 + 3....(IV) olur.
(II) ve (IV) eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa a^2 + n - 3 = 0 ve (III) eşitliği burada kullanılırsa;
a^2 - 2a - 3 = 0 ⇒ (a - 3)(a + 1) = 0 ⇒ a1 = 3 ⇒ b1 = 3^2 + 3 = 12, a2 = -1 ⇒ b2 = (-1)^2 + 3 = 4
b1 + b2 = 12 + 4 = 16 bulunur.

Grafik:

http://i1038.photobucket.com/albums/a470/hdbalzac/Questions and-or Solutions/WA_38.png
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot y=x^2+3,y=6x-6,y=-2x+2, y from -2 to 20 and x from -7 to 10