Çözüldü Topoloji

0<x<1 ve 0<y<1 olmak üzere bu aralıkta tanımlı (x,y) ikilileri icin öklidyen metrik üzerinde tanımlı uzayın tam metrik uzay olduğunu gösterir misiniz?

metrik uzaylarin uc ozelligi:
i) d(A,B)=d(B,A) yani A noktasi ile B noktasi arasindaki uzaklik B noktasi ile A noktasi arasindaki uzaklik ile aynidir. A(x1,y1) B(x2,y2) dersek iki nokta arasindaki uzaklik formulunden ikisi esit cikar.
ii) d(A,B) = 0 ancak ve ancak A = B. bunu da formulde yazip (x1-x2)^2+(y1-y2)^2=0 denklemini cozersek x1=x2 ve y1=y2 cikar ki bu da A = B yi verir.
iii) ucgen esitsizligi ise d(A,B)+d(B,C) >= d(A,C) burda da iki durumu inceleyelim.
Eger A,B ve C noktalari dogrusal ise d(A,B)+d(B,C) = d(A,C) elde edilir.
Eger dogrusal degiller ise ucgen olusturabilirler ki R^2 deki ucgen esitsizligi bize d(A,B)+d(B,C) > d(A,C) verir. dolayisiyla verilen kume metrik uzayidir