Çözüldü Türev ve Limit

Fem'den... Löpital kullanmadan çözelim:

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir f fonksiyonu için f(x+y)-f(x)=f(y)+2xy ve
lim (x-->0) f(h) / (2h) = 2 olduğuna göre, f '(2) kaçtır?

Not:
∀ x, y ∈ R için türevlenebilir şeklinde daha net bir anlatım yapılmalıydı.

Yâni:
lim( h → 0) f(h)/(2h)=2
lim(h → 0) f(h)/h=4; lim(x → a) [ f(x) - f(a) ] / (x - a) = f '(a) ifadesi türevin limit tanımı idi
f '(0)=4 demektir.

Alternatif çözüm:
a, b ∈ R
f(x) = a·x^2 + b·x
2 = lim (h → 0) f(h) / (2h) = lim (h → 0) (a·h^2 + b·h) / (2h) = lim (h → 0) (a·h + b) / 2 = b / 2 ⇒ b = 4....(I)
f(x + y) = a(x + y)^2 + b(x + y)
f(x + y) - f(x) = a(x + y)^2 + b(x + y) - a·x^2 + b·x = a·x^2 + 2·a·x·y + a·y^2 + b·x + b·y - a·x^2 - b·x....(II)
f(y) + 2·x·y = a·y^2 + b·y + 2·x·y....(III)
Probleme göre (II) ve (III) çok terimlilerinin eşitliğinden,
a·x^2 + 2·a·x·y + a·y^2 + b·x + b·y - a·x^2 - b·x = a·y^2 + b·y + 2·x·y
2·a·x·y = 2·x·y
a = 1....(IV)
(I) ve (IV) katsayılarına göre f(x) = x^2 + 4x ⇒ f '(x) = 2x + 4 ⇒ f '(2) = 2·2 + 4 = 4 + 4 = 8.

Not: f '(0) = 4.