Çözüldü 3. Dereceden Denklemler (2 Soru)

İktibas:

x³-2x²+kx-3k-9 = 0 denkleminin reel köklerinden ikisi eşit olduğuna göre, k'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 33/2 B) 5/2 C) -23/2 D) -71/4 E) -45/4

İkisi birbirinin aynı olduğunda göre üçüncü kök de reeldir. 3. dereceden bir polinomda, 1 yahut 3 tane reel kök vardır. Kompleks kök yok yâni.
Buna göre,
x=3 denklemi sağlar. Dolayısıyla denklemi (x-3)'e bölerseniz x^3-2x^2+4x-3k-9=(x-3)(x^2+x+3+k)=0 elde edilir.
Kompleks kök yok ya; x^2+x+3+k=0 ın Delta ≥ 0 dersek, 1-12-4k≥0 --> k≤-11/4 --> k=-11/4
Diğer taraftan x=3 kökü çift katlı olursa diğer çarpanı da sağlar; bunun için 3^2+3+3+k=0 diyebiliriz. O hâlde k=-15 (k ≤ -11/4 idi) da olabilir.
-15+ -11/4=-71/4

Evet; 3. derece kübik denklemlerin Delta=-4p^3-27q^2 şeklinde diskriminanta indirgenmiş genel hâlleri veren çözüm sistemi var. Cardano Formülleri... Vakit bulunca yazarım bir örnek.
Ayrıca, ax^3+bx^2+cx+d=0 denklemi için, bu diskriminantın p ve q terimleri ezberlenmeden, direkt katsayılar üzerinden
Delta=(cb)^2-4(b^3)d-4ac^3+18abcd-27(ad)^2 ile de bulunabilir.

Delta>0 ise denklemin üç farklı reel kökü,
Delta=0 ise denklemin en az ikisi birbirine eşit üç reel kökü,
Delta<0 ise denklemin biri reel, diğer ikisi (eşlenik) kompleks kökü vardır.